Testo
Detta \( A(n)\) l’area del poligono regolare di n lati inscritto in un cerchio C di raggio r, verificare che \( A(n) = \frac{n}{2} r^{2} sen(\frac{2\pi}{n}) \) e calcolarne il limite per \( n \rightarrow \infty \).

Soluzione

Il poligono di n lati inscritto in un cerchio C è composto da n triangoli isosceli aventi le lunghezze dei lati obliqui pari al raggio r di C, come mostrato nella seguente figura.

L’area di ogni triangolo è data da:
\[ A= \bar{AH} \cdot \bar{OH}= (\bar{AO} sen\alpha) \cdot (\bar{AO} cos\alpha) =r^{2} sen \alpha \cos \alpha= \frac {1}{2} r^2 sin (2\alpha) \],

dove \( 2\alpha \) è l’angolo al vertice e vale \( 2\pi/n \).
L’area totale del poligono sarà quindi:
\[ A(n) = n \cdot A= \frac{n}{2} r^{2} sen( \frac{2\pi}{n}) \].
Rimane da calcolare il limite di \( A (n) \rightarrow + \infty \):
\[ \lim_{n\to \infty}{A(n)} = \lim_{n\to \infty}{\left[ \frac{r^{2}}{2} \cdot n\; sen (\frac{2\;\pi}{n})\right]} \].
Per risolverlo bisogna effettuare il seguente cambio di variabili:
\[ t= \frac{2\; \pi}{n} \] ottenendo:
\[ \lim_{n\to \infty}{\left[ \frac{r^{2}}{2} \cdot n\; sen (\frac{2\;\pi}{n})\right]}= \lim_{t\to 0}{ \frac{r^{2}}{2} \cdot n\; \frac{2\; \pi}{t} sen (t)} = \lim_{t \to 0}{ \pi \; r^2 \frac{sen\; t}{t} } \].

Conoscendo il limite fondamentale: \( \lim_{t \to 0}{ \frac{sen\; t}{t} =1 } \), si ottiene come risultato del limite: \( \pi \; r^2 \).