Testo Il piano tariffario proposto da un operatore telefonico prevede, per le telefonate all’estero, un canone fisso di 10 euro al mese, più 10 centesimi per ogni minuto di conversazione. Indicando con \(x \) i minuti di conversazione effettuati in un mese, con \(f(x) \) la spesa totale nel mese e con \(g(x) \) il […]

Testo La funzione derivabile \(y=f(x) \) ha, per \(x \in \left[−3, 3\right]\), il grafico \( \Gamma \), disegnato in figura 2. \( \Gamma \) presenta tangenti orizzontali per \( x=-1 \), \( x=1 \), \( x=2 \). Le aree delle regioni A, B, C e D sono rispettivamente 2, 3, 3 e 1. Sia \(g(x) […]

Testo Determinare un’espressione analitica della retta perpendicolare nell’origine al piano di equazione \( x + y – z = 0 \). Soluzione L’equazione \( x + y – z = 0 \) del piano si può interpretare come il prodotto scalare tra due vettori: \[ \bar{u} \cdot \bar{OP}=0 \], dove \( \bar{u}=(1,1,-1) \) e \(\bar{OP}=(x-0, […]

Testo Di quale delle seguenti equazioni differenziali la funzione \( y=\frac{ln(x)}{x} \) è soluzione? \[ y^{”}+2 \cdot \frac{y^{‘}}{x}=y \] \[ y^{‘}+ x \cdot y^{”}=1 \] \[x \cdot y^{‘}= \frac{1}{x}+y \] \[ x^{2} \cdot y^{”}+ x \cdot y^{‘} +\frac{2}{x}=y \] Soluzione Una funzione per essere soluzione di un’equazione differenziale deve ridurre quest’ultima ad una identità una […]

Testo Determinare l’espressione analitica della funzione \(y=f(x) \) sapendo che la retta \( y=-2x+5 \) è tangente al grafico di f nel secondo quadrante e che \( f^{‘}(x)=-2x^2+6 \). Soluzione Dall’espressione della derivate prima della funzione si può ottenere l’espressione della funzione trovandone una primitive, cioè integrando: \[ f(x)= \int(-2x^{2}+6) dx = -2 (\frac{x^{3}}{3}) + […]

Testo Dimostrare che il volume del tronco di cono è espresso dalla formula: \[ V= \frac{1}{3} \pi \cdot h \cdot (R^{2}+r^{2}+Rr) \], dove R ed r sono i raggi e h l’altezza. Soluzione Per risolvere questo quesito ci possono essere due strade: una geometrica ed una analitica. Per prima mostriamo la via geometrica. La seguente […]

Testo Lanciando una moneta sei volte qual è la probabilità che si ottenga testa “al più’’ due volte? Qual è la probabilità che si ottenga testa “almeno’’ due volte? Soluzione La probabilità che esca testa in un lancio di una moneta non truccata è \( p =1/2 \) mentre la probabilità di ottenere \( k […]

Testo Sia f la funzione, definita per tutti gli x reali, da \[ 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)^2 + (𝑥 − 2)^2 + (𝑥 − 3)^2 + (𝑥 − 4)^2 + (𝑥 − 5)^2 \], determinare il minimo di f. Soluzione La funzione data nel testo è un polinomio di secondo grado per cui il […]

Testo Detta \( A(n)\) l’area del poligono regolare di n lati inscritto in un cerchio C di raggio r, verificare che \( A(n) = \frac{n}{2} r^{2} sen(\frac{2\pi}{n}) \) e calcolarne il limite per \( n \rightarrow \infty \). Soluzione Il poligono di n lati inscritto in un cerchio C è composto da n triangoli isosceli […]

Testo I lati di un triangolo misurano, rispettivamente, 6 cm, 6 cm e 5 cm. Preso a caso un punto P all’ interno del triangolo, qual è la probabilità che P disti più di 2 cm da tutti e tre i vertici del triangolo? Soluzione La precedente figura è stata costruita partendo dai dati del […]