Testo
Il piano tariffario proposto da un operatore telefonico prevede, per le telefonate all’estero, un canone fisso di 10 euro al mese, più 10 centesimi per ogni minuto di conversazione. Indicando con \(x \) i minuti di conversazione effettuati in un mese, con \(f(x) \) la spesa totale nel mese e con \(g(x) \) il costo medio al minuto:

1) individua l’espressione analitica delle funzioni \(f(x) \) e \(g(x) \) e rappresentale graficamente; verifica che la funzione \(g(x) \) non ha massimi né minimi relativi e dai la tua interpretazione dell’andamento delle due funzioni alla luce della situazione concreta che esse rappresentano.
2) Detto \(x_0 \) il numero di minuti di conversazione già effettuati nel mese corrente, determina \(x_1 \) tale che:
\[ g(x_1)= \frac{g(x_0)}{2} \]

Traccia il grafico della funzione che esprime \(x_1 \) in funzione di \(x_0 \) e discuti il suo andamento. Che significato ha il suo asintoto verticale?

Sul suo sito web l’operatore telefonico ha pubblicato una mappa che rappresenta la copertura del segnale telefonico nella zona di tuo interesse:

La zona è delimitata dalla curva passante per i punti A, B e C, dagli assi \( x\) e \( y \), e dalla retta di equazione \( x=6 \); la porzione etichettata con la “Z”, rappresenta un’area non coperta dal segnale telefonico dell’operatore in questione.

3) Rappresenta il margine superiore della zona con una funzione polinomiale di secondo grado, verificando che il suo grafico passi per i tre punti A, B e C. Sul sito web dell’operatore compare la seguente affermazione: “nella zona rappresentata nella mappa risulta coperto dal segnale il 96% del territorio”; verifica se effettivamente è così.

L’operatore di telefonia modifica il piano tariffario, inserendo un sovrapprezzo di 10 centesimi per ogni minuto di conversazione successivo ai primi 500 minuti.

4) Determina come cambiano, di conseguenza, le caratteristiche delle funzioni \(f(x) \) e \(g(x) \) ,riguardo agli asintoti, alla monotonia, continuità e derivabilità, individua eventuali massimi e minimi assoluti della funzione \(g(x) \) e della sua derivata e spiegane il significato nella situazione concreta.

Soluzione

1) Chiamiamo il canone \(c\) e la tariffa \(f\). Posso allora definire la variabile \(x\) come:

\[ x=\frac{minuti di conversazione}{mese} \].

La spesa totale nel mese sarà allora ottenuta sommando al canone il costo delle telefonate effettuate ottenendo: \( f(x)=c+t \cdot x= 10+0,1 \cdot x \; euro/mese \).
Il numero di minuti di telefonate in un mese può variare in modo discrete da 0 al numero massimo di minuti in un mese. Date comunque le richieste del testo circa la rappresentazione grafica e l’esistenza di massimi e minimi, dovremo considerare la variabile \( x \) come continua e appartenente a \( \Re^+ \) così da poter rispondere ai quesiti sulla continuità e derivabilità. Quindi consideriamo la funzione precedente per \( x\geq 0 \). La rappresentazione su assi cartesiani della spesa mensile \( f(x) \) è data da una retta, come mostra la seguente figura:

Il costo medio al minuto (e al mese) \( g(x) \) si può esprimere come:

\[ g(x)= \frac{f(x)}{x}= \frac{10}{x}+0,1 \],

con \( x\geq 1 \) (fa almeno un minute di telefonata). Graficamente è rappresentato da un ramo di iperbole equilateral traslata, di cui dobbiamo calcolare gli asintoti.

L’espressione è un caso particolare della forma:

\[ y=\frac{ax+b}{cx+d} \]

funzioni che hanno un asintoto verticale \( x= -d/c \; e \) deducibile dalla condizione: \( cx+d=0 \) e uno orizzontale deducibile dalla condizione: \( \lim_{x \to \pm \infty}{\frac{ax+b}{cx+d}}= \frac{a}{c} = 0+0,1=0,1 \). Se si individua ora un punto della funzione posso disegnarne il grafico. Posso esempio porre \( g(x) =0 \) ottenendo \( x= -100 \). Il grafico risulta quindi:

Di cui considerermo solo la parte delle \( x \) positive.
Evidentemente la funzione \( g(x) \) non possiede formalmente alcun punto di massimo o minimo ma se consideriamo che si faccia almeno un minuto di conversazione allora esiste un massimo pari a: \( g(1)= 10,1 euro/min \) che coincide numericamente con la spesa mensile \( f(1) = 10,1 euro \).
Ulteriori osservazioni: all’aumentare del numero di minuti di conversazione il costo mensile aumenta linearmente mentre quello medio diminuisce e gradualmente si avvicina al costo medio asintotico di \( 0,1 euro/min \) senza comunque mai raggiungerlo.

2) Se \(x_0 \) sono i minuti di conversazione effettuati e \(x_1 \) i minuti necessari affinché il costo medio si dimezzi, allora \(x_1 \) deve soddisfare la relazione proposta dal testo che in forma esplicita diventa:
\[ g(x_1)=\frac{10}{x_1}+0,1=\frac{10}{2x_0}+0,05 \].

Risolvendo si ottiene \( x_1= \frac{200 \; x_0}{100-x_0}\), con \( x_0 > 0 \) e \( x_0 \neq 100 \).
Questa appena scritta è una funzione omografica con asintoto verticale di equazione \(x_0=100 \) e orizzontale \( x_1=-200 \) ed è mostrata nella seguente figura:

L’andamento di \(x_1 \) è evidentemente crescente con \(x_0 \) appartenente all’intervallo (0, 100) estremi esclusi, mentre quando \(x_0 > 100 \) la possibilià di dimezzare il costo medio diviene impossibile in quanto \(x_1 < 0 \). Inoltre all’avvicinarsi di \(x_0 \) a 100 minuti, \(x_1 \) tende ad assumere valori sempre maggiori e tendenti a \( +\infty \).3) La funzione polinomiale di II grado passante per i punti A(0, 2), B(2, 7/2) e C(4, 4) non può che essere una parabola di equazione \(y = ax^2+bx+c \) per cui, imponendo il passaggio per A, B e C abbiamo:\[\left\{ \begin{array}{ll} 2=0+0+c \\ 7/2=4a+2b+c \\ 4= 16a+4b+c \end{array} \right.\],
da cui: \( a=-1/8\) , \(b=1 \) e \(c=2\).
La parabola che rappresenta il margine è quindi: \( y=-\frac{1}{8} x^2 + x + 2 \).
Il calcolo dell’area sottostante tale parabola e delimitata dalle rette \(x = 0 \) e \( x = 6 \) e comprendente la zona etichettata sulla mappa con Z priva di copertura si deduce dal calcolo dell’integrale:

\[ \int_{0}^{6} \left(-\frac{1}{8}x^2+x+2 \right)\, dx = \left[ -\frac{x^3}{24}+\frac{x^2}{2}+2x \right]^6_0=21 \; km^2 \].

Poiché l’area triangolare \( A(Z) \) non coperta dal segnale risulta: \( A(Z)=1/2 \cdot 1 \cdot1=0,5 \); km^2, la percentuale di copertura effettiva è:

\[ copertura = \frac{A-A(Z)}{A} \cdot 100= 97,62% \],

per cui il valore dichiarato di 96% corrisponde alla realtà.

4) A seguito della modifica del piano tariffario la spesa dopo i primi 500 minuti sarà data dalla somma del canone mensile (10 euro), dal costo di ciascun minuto di conversazione (0,1euro/min) e dal sovrapprezzo di 0,1 euro/min per ogni minuto che eccede 500 cioè \(0,1(x−500) \) con \( x > 500 \). La nuova funzione è quindi:

\[ F(x)=\begin{cases} f(x), & \mbox{se }n\mbox{ $0\leq x \leq 500$} \\ f(x)+0,1 (x-500), & \mbox{se }n\mbox{ $x > 500$}
\end{cases} \]

Che in forma esplicita diventa:

\[ F(x)=\begin{cases} 10+0,1x, & \mbox{se }n\mbox{ $0\leq x \leq 500$} \\ 0,2x-40, & \mbox{se }n\mbox{ $x > 500$}
\end{cases} \].

Il suo grafico è rappresentato nella seguente figura da una spezzata:

La funzione \(F(x) \) è continua nel suo dominio. Non è derivabile nel punto di contatto \( x=500 \) in quanto in questo punto la derivate non è continua. La nuova funzione spesa \(F(x) \) è crescente strettamente, il minimo è raggiunto per \( x = 0 \) (i 10 euro di canone) mentre non possiede Massimo.
La spesa oltre i 500 minuti si può pure ottenere considerando la somma della spesa dei primi 500 minuti comprensiva del canone \(f(500) = 10 + 0,1 \cdot 500 = 10 + 50 = 60 \) con la spesa per ciascun minuto oltre i 500 data da \( (0,1 + 0,1)(x − 500) = 0,2(x − 500) \) essendo ora 0,2 euro/min il costo effettivo di ogni minuto di conversazione. Ne segue che il costo medio al minuto \( G(x) \) è rappresentato da:

\[ G(x)=\begin{cases} g(x)=\frac{10}{x}+0,1, & \mbox{se }n\mbox{ $0 < x \leq 500$} \\ \frac{F(x)}{x}=0,2 - \frac{40}{x}), & \mbox{se }n\mbox{ $x > 500$}
\end{cases} \].

Il grafico della funzione \( G(x) \) coincide per il primo tratto dove \( 0 < x \leq 500 \) con la funzione \( g(x) \) già studiata. Se invece \( x > 500 \) la \( G(x) \) diviene:

\[G(x)=0,2-\frac{40}{x}, \] con \( x > 500 \).

Questa funzione è ancora una funzione omografica con asintoto verticale \( x = 0 \) e orizzontale y = 0,2 euro/min. Inoltre risulta G(200) = 0 per cui, indipendentemente dalle condizioni, il suo grafico è il segunete:

Nel punto di raccordo \( x=500 \) i limiti destro e sinistro sono rispettivamente 0,12 e 0,12, per cui anche la \( G(x) \) è continua. In questo punto invece, il limite destro e sinistro della funzione derivate prima non coincidono. Pertanto si ha una discontinuità di I specie. Il punto (500; 0,12) è quindi un punto angoloso. Unendo i due grafici ottenuti per la funzione \( G(x) \) si ottiene il seguente grafico che rappresenta il costo medio:

Il costo medio presenta un minimo assoluto pari a 0,12 euro/min in corrispondenza di \( x = 500 \) ma non possiede un massimo. Possiede infine due asintoti: quello verticale coincide con l’asse \( x = 0 \) mentre quello orizzontale è dato dall’equazione \( y = 0,2 \). Il costo medio delle telefonate diminuisce con continuità raggiungendo il valore di \( 0,12 euro/min \) quando si sono accumulati 500 minuti di conversazione: successivamente, superata tale soglia, comincia ad aumentare avvicinandosi ad un costo medio di 0,2 euro/min.
Per quanto riguarda la funzione derivata, in aggiunta a quanto già detto aggiungiamo il calcolo dei suoi limiti agli estremi del dominio. Nell’intorno destro di 0 vale \( – \infty \) mentre a \( +\infty \) il limite vale zero.