Testo
La funzione derivabile \(y=f(x) \) ha, per \(x \in \left[−3, 3\right]\), il grafico \( \Gamma \), disegnato in figura 2. \( \Gamma \) presenta tangenti orizzontali per \( x=-1 \), \( x=1 \), \( x=2 \). Le aree delle regioni A, B, C e D sono rispettivamente 2, 3, 3 e 1. Sia \(g(x) \) una primitiva di \( f(x) \) tale che \(g(3)=-5 \).

1) Nel caso \( f(x) \) fosse esprimibile con un polinomio, quale potrebbe essere il suo grado minimo? Illustra il ragionamento seguito.

2) Individua i valori di \(x \in \left[−3, 3\right]\), per cui \( g(x) \) ha un massimo relativo e determina i valori di \(x\) per i quali \( g(x) \) volge la concavità verso l’alto.

3) Calcola \( g(0) \) e, se esiste, il \( \lim_{x \to 0}{\frac{1+g(x)}{2x}} \).

4) Sia \(h(x) = 3 \cdot f(2x + 1) \), determina il valore di \( \int_{-2}^{1} h(x), dx \).

Soluzione

1) Le condizioni cui deve soddisfare la funzione \(f(x)\) riguardano rispettivamente:

a) il passaggio per i punti dell’asse x: \( f(-2)=f(0)=f(2)=0 \);

b) l’avere una retta tangente orizzontale in \(f^{‘}(-1)= f^{‘}(1)= f^{‘}(2)=0 \);

c) le aree delle regioni finite indicate in figura: A, B, C e D pari a: \(A(A)=2, A(B)=A(C)=3, A(D)=1 \);

d) una primitive \( g(x) \) della \( f(x) \) per la quale risulta \( g(3) =-5 \).
Le condizioni sono ben dieci per cui, dato che \( f(x) \) è dichiarata polinomiale, non potranno che essere soddisfatte da un polinomio rappresentativo di nono grado che è caratterizzato dai 10 coefficienti delle potenze di x (dal grado 9 al grado 0). \( \Gamma \) potrà comunque essere descritta anche da un polinomio di grado superiore.

2) Siccome \( g(x) \) è una primitiva di \(f(x) \), possiamo scrivere l’integrale:

\[ \int_{-3}^{1} f(t), dt +c \],

con \( g(3)=-5 \) e tenendo presente la condizione: \( g^{‘} (x)= f(x) \). La ricerca del massimo relativo diventa lo studio del segno di \( g^{‘} (x)\) che è deducibile dal grafico di \( \Gamma \). Possiamo quindi subito fare un grafico con lo studio del segno di \( g^{‘} (x)\):

Si ha quindi un massimo in corrispondenza di \( x=0 \).
Lo studio delle concavità si basa sull’uguaglianza \( g^{”} (x)= f^{‘ }(x) \). Per cui il segno di \( g^{”} (x) \) si deduce osservando in figura gli intervalli in cui \( f(x) \) risulta crescente o decrescente. Nel seguente grafico si può notare il segno di \( g^{”} (x) \):

La concavità è quindi rivolta verso l’alto tra -3 e -1 e poi tra 1 e 2.

3) \(g(x) \) è una primitiva di \(f(x) \) che abbiamo scritto nel punto precedente. Siccome abbiamo la condizione \( g(3)=-5 \), sostituendo nell’equazione di \( g(x) \) possiamo ottenere la costante additiva c, ponendo nell’integrale 3 come estremo superiore. Inoltre, l’integrale può essere visto anche come la somma lgebrica delle aree delle regioni A, B, C, e D, delle quali conosco il valore nel testo. Risulta pertanto: \( g(3)= -A(A)+A(B)-A(C)-A(D)+c \) da cui si può ricavare che c vale -2. E’ ora possibile calcolare il valore di \( g(0) \), sostituendo a c il valore appena trovato e all’estremo superiore x dell’integrale il valore 0. Si ottiene quindi:

\[ g(0)= \int_{-3}^{0} f(t), dt -2= -2+[-A(A)+A(B)]=-1 \].

Occupiamoci ora del calcolo del limite \( \lim_{x \to 0}{\frac{1+g(x)}{2x}} \).
Questo limite è indeterminate in quanto: \( \lim_{x \to 0}{[1+g(x)]}=1-g(0)=0 \) e \( \lim_{x \to 0}{2x}=0 \).
D’altra parte, il calcolo del limite del rapporto delle derivate delle funzioni \(1 + g(x) \) e \( 2x \) restituisce l’espressione;

\[ \lim_{x \to 0}{\frac{ g^{‘} (x)}{2}} \],
Ottenuto derivando numeratore e denominatore. Questo limite diventa poi:

\[ \lim_{x \to 0}{\frac{ f (x)}{2}}=0/2=0 \],
Siccome \( g^{‘}(x)=f(x) \) e \( \lim_{x \to 0}{f (x)}=f(0)=0 \).
Poiché le ipotesi del teorema di De L’H\hat{o}pital sono soddisfatte dalle funzioni \(1 + g(x)\) e \(2x\) ed esiste il limite delle derivate scritto prima, possiamo applicare il teorema e concludere che dev’essere:

\[ \lim_{x \to 0}{\frac{ 1+g (x)}{2x}}=0 \],

4) L’integrale richiesto è:

\[ \int_{-2}^{1} 3 \cdot f(2x+1) dx \].
Per risolverlo imposto la sostituzione: \( t= 2x+1 da cui dt=2 \; dx \). Gli estremi di integrazione diventano \( t=-3 \) e \( t=3\). L’integrale da risolvere diventa allora:

\[ \int_{-3}^{3} \frac{3}{2} f(t) dt \].

Sfruttando l’interpretazione geometrica dell’ultimo integrale come somma algebrica di aree, abbiamo:

\[ \int_{-3}^{3} \frac{3}{2} f(t) dt = \frac{3}{2} [-A(A)+A(B)-A(C)-A(D)]=-\frac{9}{2}\].