Testo

Determinare un’espressione analitica della retta perpendicolare nell’origine al piano di equazione
\( x + y – z = 0 \).
Soluzione
L’equazione \( x + y – z = 0 \) del piano si può interpretare come il prodotto scalare tra due vettori:
\[ \bar{u} \cdot \bar{OP}=0 \],

dove \( \bar{u}=(1,1,-1) \) e \(\bar{OP}=(x-0, y-0, z-0)=(x,y,z) \). Il prodotto scalare individua un generico punto dello spazio a partire dall’origine. Essendo uguale a zero, i due vettori sono perpendicolari e P appartiene al piano. La retta perpendicolare al piano e passante per l’origine si può ottenere quindi a partire dalla forma parametrica espressa in forma vettoriale da: \( \bar{OP}=\bar{OA}+t\bar{u}\), essendo \( \bar{OA} \) un vettore che individua un punto A della retta e \(\bar{u} \) un vettore parallelo ad essa. Questa equazione diventa:
\[
\left\{
\begin{array}{ll}
x=x_{A}+t\;u_{x}=0+t \cdot 1=t\\
y=y_{A}+t\;u_{y}=0+t \cdot 1=t\\
z=z_{A}+t\;u_{z}=0+t \cdot (-1)=-t
\end{array}
\right.
\].

Queste equazioni costituiscono la rappresentazione parametrica della retta cercata.
La forma implicita si può ottenere eliminando il parametro t, ottenendo:
\[
\left\{
\begin{array}{ll}
x-y=0 \\
x+z=0
\end{array}
\right.
\].