Testo

Di quale delle seguenti equazioni differenziali la funzione \( y=\frac{ln(x)}{x} \) è soluzione?

\[ y^{”}+2 \cdot \frac{y^{‘}}{x}=y \]
\[ y^{‘}+ x \cdot y^{”}=1 \]
\[x \cdot y^{‘}= \frac{1}{x}+y \]
\[ x^{2} \cdot y^{”}+ x \cdot y^{‘} +\frac{2}{x}=y \]

Soluzione
Una funzione per essere soluzione di un’equazione differenziale deve ridurre quest’ultima ad una identità una volta che si sostituisca la funzione stessa e le sue derivate nell’equazione differenziale. Poiché nelle quattro equazioni proposte compaiono la derivata prima e seconda, calcoliamo queste derivate per la funzione y data nel testo.
Calcoliamo la derivata prima:

\[ y^{‘}= \frac{(\frac{1}{x} \cdot x – ln\;x)}{x^2} = \frac{1}{x^2} – \frac{ln\; x}{x^2} \]

Ora la derivata seconda:

\[ y^{”}= – \frac{2}{x^3}- \frac{(\frac{1}{x} \cdot x^2 – 2x\; ln\;x)}{x^4} = – \frac{2}{x^3} – \frac{1}{x^3} + \frac{2\;ln\; x}{x^3}= – \frac{3}{x^3} + \frac{2\;ln\; x}{x^3} \].

Ora dobbiamo sostituire queste due derivate nelle varie espressioni date nel testo.
Nella prima otteniamo:
\[ -\frac {1}{x^3} =\frac{ln\; x}{x} \] che non è una identità.
Nella seconda:
\[ -\frac {2}{x^2}+\frac{ln\; x}{x^3}=1 \] che non è una identità.
Nella terza:
\[ \frac{2ln\; x}{x}=0 \] che non è una identità.
Nella quarta:
\[ \frac{ln\; x}{x}=\frac{ln\; x}{x} \] che è una identità, per cui questa è la risposta esatta.