Massimi e minimi – Problema 10

Inscrivere in un dato semicerchio il quadrilatero di superficie massima con un lato parallelo al diametro. Soluzione Rappresentiamo un semicerchio, e notiamo che il quadrilatero inscritto richiesto risulta un trapezio isoscele: Vista la figura, chiamiamo: \[ \overline{OC}=\overline{OB}=r\rightarrow\overline{AB}=2r \] \[ \overline{OM}=\overline{CH}=h \] \[ \overline{DC}=b\rightarrow\overline{MC}=\overline{OH}=\frac{b}{2} \] La superficie del trapezio è \[ A=\frac{\left(\overline{AB}+\overline{DC}\right)\cdot\overline{CH}}{2} \] \[ A=\frac{h\left(2r+b\right)}{2} \] […]

Massimi e minimi – Problema 12

Determinare il massimo dell’area di un trapezio isoscele, dati la base minore b e il lato obliquo c. Soluzione Rappresentazione grafica: Vista la figura, chiamiamo: \[ \overline{DC}=b \] \[ \overline{BC}=\overline{AD}=c \] \[ \overline{HB}=x \] Risulta \[ \overline{AB}=b+2x \] \[ \overline{CH}=\sqrt{c^{2}-x^{2}} \] L’area del trapezio vale \[ A=\frac{\left(\overline{AB}+\overline{DC}\right)\cdot\overline{CH}}{2} \] Viste le considerazioni sopra, possiamo scrivere questa […]

Massimi e minimi – Problema 11

Inscrivere in un triangolo, di base b e altezza h, il rettangolo avente la base su b e di area massima. Soluzione Rappresentazione grafica: Vista la figura, chiamiamo: \[ \overline{HF}=\overline{KE}=x \] \[ \overline{KH}=\overline{EF}=y \] \[ \overline{HB}=b \] \[ \overline{AH}=h \] Consideriamo il rettangolo GFED. La sua area vale \[ A_{2}=xy \] Scriviamo y in funzione […]

Applicare la definizione di derivata – Batteria 2

Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata delle seguenti funzioni in un generico punto x del rispettivo dominio. Confrontare il dominio D della funzione data con il dominio D’ della sua funzione derivata. Esercizio 1 \[ f\left(x\right)=\frac{x+1}{x-2} \] Il dominio della funzione data è \[ D=\mathbb{R}-\left\{ 2\right\} \] Calcoliamo il rapporto incrementale relativamente al […]

Equazioni fratte

Risolvere le seguenti equazioni frazionarie numeriche: 1) \[ \frac{3}{x}=\frac{4}{x-1} \] Condizioni di esistenza C.E.: \[ x\neq0 \] \[ x-1\neq0\rightarrow x\neq1 \] Portiamo le frazioni al minimo comune denominatore: \[ \frac{3}{x}-\frac{4}{x-1}=0 \] \[ \frac{3\left(x-1\right)-4x}{x\left(x-1\right)}=0 \] Semplifichiamo il denominatore: \[ 3\left(x-1\right)-4x=0 \] \[ 3x-3-4x=0 \] \[ -x=3 \] \[ x=-3 \] che è una soluzione accettabile. 2) […]

Equazioni fratte – Problema 1

In una frazione il denominatore supera di 13 i 2/3 del numeratore; aggiungendo 10 ad entrambi i termini si ottiene una nuova frazione, equivalente a 4/5. Determinare la frazione. Soluzione Chiamando x il numeratore N, l’equazione da risolvere sarà la seguente: \[ \frac{x+10}{\frac{2}{3}x+13+10}=\frac{4}{5} \] \[ \frac{x+10}{\frac{2}{3}x+23}=\frac{4}{5} \] Condizioni di esistenza C.E.: \[ \frac{2}{3}x+23\neq0 \] \[ […]

Equazioni fratte – Problema 2

In una famiglia l’età del padre supera di due anni l’età della moglie, che è il quintuplo dell’età dei due figli gemelli: la sorellina minore è nata due anni dopo i gemelli. Determinare le età attuali dei componenti della famiglia sapendo che il rapporto tra l’età del padre e quella della figlia minore è 8. […]

Equazioni fratte – Problema 3

Per coprire una distanza di 720 Km, un treno impiega un tempo eguale al sestuplo del tempo che impiegherebbe un aereo che viaggia ad una velocità di 600 Km/h superiore a quella del treno. Determinare la velocità del treno. Soluzione Chiamando x la velocità del treno, la velocità dell’aereo sarà: \[ V_{A}=x+600 \] Se il […]

Equazioni fratte – Problema 4

In un triangolo rettangolo un cateto supera l’altro di 10m e il rapporto tra la somma della terza parte del cateto minore con la quarta parte del maggiore e la somma dei cateti è 2/7. Determinare la lunghezza del perimetro. Soluzione Se il cateto minore lo chiamiamo x, il maggiore sarà 10+x, quindi l’equazione da […]

Equazioni fratte – Problemi

Problemi risolti per mezzo di equazioni fratte di primo grado: Equazioni fratte – Problema 1Equazioni fratte – Problema 2Equazioni fratte – Problema 3Equazioni fratte – Problema 4