Tra tutti triangoli rettangoli aventi costante la somma dei cateti, qual è quello in cui è massima l’altezza relativa all’ipotenusa? Soluzione Chiamiamo a e b i cateti. Chiamiamo i l’ipotenusa e h l’altezza relativa ad essa. Sapendo che l’area del triangolo è \[ A=\frac{ab}{2} \] ma anche \[ A=\frac{ih}{2} \] allora \[ \frac{ab}{2}=\frac{ih}{2}\rightarrow h=\frac{ab}{i} \] […]
Problemi svolti di massimo e minimo sui triangoli: Massimi e minimi – Problema 1 Massimi e minimi – Problema 2 Massimi e minimi – Problema 3 Massimi e minimi – Problema 4 Massimi e minimi – Problema 5 Massimi e minimi – Problema 6
Problemi svolti, raggruppati per argomento, relativi al calcolo dei massimi e dei minimi in un intervallo chiuso e limitato (dettato dalle limitazioni geometriche dell’esercizio): Problemi di massimo e minimo – Triangoli (6 problemi svolti) Problemi di massimo e minimo – Quadrilateri (6 problemi svolti) Problemi di massimo e minimo – Circonferenza (6 problemi svolti) Problemi […]
Tra tutti triangoli rettangoli aventi costante la somma tra ipotenusa e un cateto, qual è quello di area massima? Soluzione Chiamiamo a e b i cateti. Chiamiamo i l’ipotenusa. Risulta costante la somma \[ s=i+b\rightarrow i=s-b \] Sapendo che l’area del triangolo è \[ A=\frac{ab}{2} \] possiamo scrivere a in funzione di b e di […]
Circoscrivere ad un cerchio di raggio r il rombo di area minima. Soluzione Rappresentiamo un rombo qualunque circoscritto ad una circonferenza: Vista la figura, chiamiamo \[ \overline{OH}=r\;;\;\overline{OA}=a\;;\;\overline{OB}=b \] \[ \overline{AC}=2a \] \[ \overline{BD}=2b \] \[ O\hat{A}B=x \] \[ O\hat{B}A=90^{o}-x \] Dal triangolo rettangolo AOH ricaviamo a in funzione di r e di x: \[ a=\frac{r}{\sin […]
Di tutti i rettangoli aventi lo stesso perimetro 2P, qual’è quello di superficie massima? Soluzione Dato un rettangolo generico di base b e altezza h, l’area vale \[ A=bh \] Visto che il perimetro è costante, possiamo ricavarci h in funzione di b: \[ 2P=2\left(b+h\right)\rightarrow P=b+h \] \[ h=P-b \] Ora la nostra funzione A […]
Di tutti i rettangoli inscritti in uno stesso cerchio di raggio di misura R, qual’è quello di perimetro massimo? E di area massima? Soluzione Rappresentiamo un rettangolo qualunque inscritto in una circonferenza: Vista la figura, chiamiamo \[ \overline{OB}=r\;;\;\overline{AB}=b\;;\;\overline{BC}=h \] \[ \overline{OH}=\frac{1}{2}\overline{AB}=\frac{b}{2} \] \[ \overline{BH}=\frac{1}{2}\overline{BC}=\frac{h}{2} \] Dal teorema di Pitagora sul triangolo OBH, otteniamo l’altezza del […]
Problemi svolti di massimo e minimo sui quadrilateri: Massimi e minimi – Problema 7 Massimi e minimi – Problema 8 Massimi e minimi – Problema 9 Massimi e minimi – Problema 10 Massimi e minimi – Problema 11 Massimi e minimi – Problema 12
Ricordando le derivate fondamentali, applicando i teoremi sul calcolo della derivata di somma, prodotto e quoziente di funzioni derivabili, e/o applicando il teorema di derivazione delle funzioni composte o le regole che ne conseguono, calcolare le derivate delle seguenti funzioni: Esercizio 1 \[ f\left(x\right)=\ln\left(2\sin x+\sin2x\right)^{2} \] Soluzione \[ f’\left(x\right)=\frac{1}{\left(2\sin x+\sin2x\right)^{2}}\cdot2\left(2\sin x+\sin2x\right)\cdot\left(2\cos x+2\cos2x\right) \] \[ f’\left(x\right)=\frac{2\cdot2\left(\cos […]
Ricordando le derivate fondamentali, applicando i teoremi sul calcolo della derivata di somma, prodotto e quoziente di funzioni derivabili, e/o applicando il teorema di derivazione delle funzioni composte o le regole che ne conseguono, calcolare le derivate delle seguenti funzioni: Esercizio 1 \[ f\left(x\right)=\frac{\sqrt{2-x^{2}}}{x} \] Soluzione \[ f’\left(x\right)=\left\{ \left[\frac{1}{2\sqrt{2-x^{2}}}\cdot\left(-2x\right)\right]\cdot x-\sqrt{2-x^{2}}\cdot1\right\} \cdot\frac{1}{x^{2}} \] \[ f’\left(x\right)=\left(-\frac{x^{2}}{\sqrt{2-x^{2}}}-\sqrt{2-x^{2}}\right)\cdot\frac{1}{x^{2}} \] […]