Ricordando le derivate fondamentali, applicando i teoremi sul calcolo della derivata di somma, prodotto e quoziente di funzioni derivabili, e/o applicando il teorema di derivazione delle funzioni composte o le regole che ne conseguono, calcolare le derivate delle seguenti funzioni:
Esercizio 1 \[ f\left(x\right)=\frac{\sqrt{2-x^{2}}}{x} \] Soluzione \[ f’\left(x\right)=\left\{ \left[\frac{1}{2\sqrt{2-x^{2}}}\cdot\left(-2x\right)\right]\cdot x-\sqrt{2-x^{2}}\cdot1\right\} \cdot\frac{1}{x^{2}} \] \[ f’\left(x\right)=\left(-\frac{x^{2}}{\sqrt{2-x^{2}}}-\sqrt{2-x^{2}}\right)\cdot\frac{1}{x^{2}} \] \[ f’\left(x\right)=\frac{-x^{2}-2+x^{2}}{\sqrt{2-x^{2}}}\cdot\frac{1}{x^{2}} \] \[ f’\left(x\right)=-\frac{2}{x^{2}\sqrt{2-x^{2}}} \] Esercizio 2 \[ f\left(x\right)=\ln\left(x^{2}-3x+1\right)^{2} \] Soluzione \[ f’\left(x\right)=\frac{1}{\left(x^{2}-3x+1\right)^{2}}\cdot2\left(x^{2}-3x+1\right)\cdot\left(2x-3\right) \] \[ f’\left(x\right)=\frac{2\left(2x-3\right)}{x^{2}-3x+1} \] Esercizio 3 \[ f\left(x\right)=\sqrt[5]{\sin^{3}x} \] Soluzione \[ f\left(x\right)=\sqrt[5]{\sin^{3}x}=\left(\sin x\right)^{\frac{3}{5}} \] \[ f’\left(x\right)=\frac{3}{5}\left(\sin x\right)^{\frac{3}{5}-1}\cdot\cos x \] \[ f’\left(x\right)=\frac{3}{5}\left(\sin x\right)^{-\frac{2}{5}}\cdot\cos x \] \[ f’\left(x\right)=\frac{3\cos x}{5\left(\sin x\right)^{\frac{2}{5}}} \] \[ f’\left(x\right)=\frac{3\cos x}{5\cdot\sqrt[5]{\sin^{2}x}} \] Esercizio 4 \[ f\left(x\right)=\tan e^{x^{3}+3} \] Soluzione \[ f’\left(x\right)=\frac{1}{\cos^{2}e^{x^{3}+3}}\cdot e^{x^{3}+3}\cdot3x^{2} \] \[ f’\left(x\right)=\frac{3x^{2}e^{x^{3}+3}}{\cos^{2}e^{x^{3}+3}} \]
salve, una domanda nel esercizio 1 come hai tolto la radice del nominatore?
grazie
Ciao! Volevo farti notare un errore nel primo esercizio.
Nel momento in cui togli la radice al denominatore, osserva bene che non possiamo eliderla, dal momento che il quadrato dell’argomento sotto radice è riferito alla sola x, e non all’intero polinomio. Questo cambia solo lo svolgimento della derivata ovviamente, e non la derivazione in sè.
Grazie mille =)
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Ciao magari la domanda è stupida ma sto cominciando ora con le derivate, perché nell’esercizio 4 si moltiplica il tutto per la derivata dell’esponente (3x^2)?
Ho letto sempre qui le regole di derivazione e le derivate immediate ma non capisco quell’ultimo termine!
Grazie e complimenti per il sito.
Si applica il teorema di derivazione delle funzioni composte:
y = f(g(x))
y = f'(g(x)) * g'(x)
Come mai non si applica la regola della derivata di una funzione elevata ad un’altra funzione?
Perchè in questo caso la funzione di x sta solo all’esponente, mentre alla base hai solo “e” (un numero, una costante); il tutto inglobato in un’altra funzione (la tangente)
nel primo esercizio non cambia niente se derivo calcolando come prodotto di funzione, no? ovvero il denominatore lo rendo x^-1
mi rispondo da solo, si, avevo sbagliato a derivare x^-1 invece di -1x^-2 avevo scritto -2x^-2
Ok ;)
ciao scusa l’ignoranza,potresti spiegarmi perche’ al primo passaggio del primo esercizio scrivi:( per 2x chiusa parentesi per x) ? proprio all’inizio…
Seguo la regola di derivazione di un quoziente di funzioni: la seconda x è il denominatore così come sta.
Scusa, io non capisco cosa esegui nell’esercizio due, per passare da questa formula:
f′(x)=ln(x2−3x+1)^2
alla successiva priva del logaritmo
si c’era un errore di stampa che ho modificato, grazie.
Ciao potresti aiutarmi con questo esercizio?
f(x)=sinx(sinx-cosx)
f'(x)=cosx(senx-cosx) +senx(cosx+senx) =
cosxsenx -(cosx)^2 +senxcosx +(senx)^2 =
(senx)^2 -(cosx)^2 +2senxcosx
1) f’= 1/2 (x^2-5)^(-1/2) *2x = x/rad(x^2-5)
2) f’= (2x(x-3)-x^2*1)/(x-3)^2 =(x^2-6x)/(x-3)^2
3) f=(x-1)^(-1/2) -> f’=(-1/2)(x-1)^(-3/2)
ciao mi aiuti con questi esercizi lunedi ho l’esame :(
f(x) radice di x^2-5
f(x) x^2/x-3
f(x) 1/ radice di x -1
help me please :(((((
Ciao, vorrei chiederti un chiarimento sull’esercizio 1. Perché al terzo passaggio non c’è più la radice di 2-x^2 ? xD
Ho fatto il comune denominatore: la radice si elimina perchè rad(2-x^2)*rad(2-x^2)=(2-x^2)
Invece di fare “tutto fratto x^2 (quadrato del denominatore)” ho scritto “tutto per 1/x^2” che è la stessa cosa.
Ciao Albert
scusa, ma all’esercizio 1, al primo passaggio, perchè alla fine moltiplichi per 1/x al quadrato? Quale regola è? Graziee :)
Ciao,
di niente. Grazie a te per l’ottimo lavoro con questa guida!!!
Ciao Anonimo,
Si hai ragione, adesso è giusto,
grazie!
Ciao:
il risultato dell’esercizio 4 non è: 3x^2e^((x^3)+3)/cos^2(e^((x^3)+3))
Non dovrebbe dunque mancare l’esponente 2 alla derivazione dell’argomento dell’esponenziale essendo appunto la sua derivata pari a 3x^2 e non solo 3x?