Ricordando le derivate fondamentali, applicando i teoremi sul calcolo della derivata di somma, prodotto e quoziente di funzioni derivabili, e/o applicando il teorema di derivazione delle funzioni composte o le regole che ne conseguono, calcolare le derivate delle seguenti funzioni:

Esercizio 1 \[ f\left(x\right)=\ln\left(2\sin x+\sin2x\right)^{2} \] Soluzione \[ f’\left(x\right)=\frac{1}{\left(2\sin x+\sin2x\right)^{2}}\cdot2\left(2\sin x+\sin2x\right)\cdot\left(2\cos x+2\cos2x\right) \] \[ f’\left(x\right)=\frac{2\cdot2\left(\cos x+\cos2x\right)}{2\sin x+\sin2x} \] \[ f’\left(x\right)=\frac{4\left(\cos x+\cos2x\right)}{2\sin x+\sin2x} \] Esercizio 2 \[ f\left(x\right)=7^{x^{2}}+x^{\sqrt{7}} \] Soluzione \[ f’\left(x\right)=7^{x^{2}}\ln7\cdot2x+\sqrt{7}x^{\sqrt{7}-1} \] \[ f’\left(x\right)=2x\cdot7^{x^{2}}\ln7+\sqrt{7}x^{\sqrt{7}-1} \] Esercizio 3 \[ f\left(x\right)=e^{x}\ln\cos\sqrt{x} \] Soluzione \[ f’\left(x\right)=e^{x}\ln\cos\sqrt{x}+e^{x}\cdot\frac{1}{\cos\sqrt{x}}\cdot\left(-\sin\sqrt{x}\right)\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}} \] \[ f’\left(x\right)=e^{x}\ln\cos\sqrt{x}-e^{x}\cdot\frac{\sin\sqrt{x}}{2\sqrt{x}\cos\sqrt{x}} \] \[ f’\left(x\right)=e^{x}\left(\ln\cos\sqrt{x}-\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot\frac{\sin\sqrt{x}}{\cos\sqrt{x}}\right) \] \[ f’\left(x\right)=e^{x}\left(\ln\cos\sqrt{x}-\frac{\tan\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}\right) \] Esercizio 4 \[ f\left(x\right)=\ln\cos\sin x^{3} \] Soluzione \[ f’\left(x\right)=\frac{1}{\cos\sin x^{3}}\left(-\sin\sin x^{3}\right)\cos x^{3}\cdot3x^{2} \] \[ f’\left(x\right)=-\frac{3x^{2}\cos x^{3}\sin\sin x^{3}}{\cos\sin x^{3}} \]