Tra tutti triangoli rettangoli aventi costante la somma dei cateti, qual è quello in cui è massima l’altezza relativa all’ipotenusa?

Soluzione

Chiamiamo a e b i cateti. Chiamiamo i l’ipotenusa e h l’altezza relativa ad essa. Sapendo che l’area del triangolo è \[ A=\frac{ab}{2} \] ma anche \[ A=\frac{ih}{2} \] allora \[ \frac{ab}{2}=\frac{ih}{2}\rightarrow h=\frac{ab}{i} \] Per il teorema di Pitagora l’ipotenusa vale \[ i=\sqrt{a^{2}+b^{2}} \] quindi \[ h=\frac{ab}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \] Questa funzione ha due variabili (a e b), ma possiamo scrivere a in funzione di b e s, grazie al fatto che risulta costante la somma s dei cateti: \[ s=a+b\rightarrow a=s-b \] Ora la nostra funzione h ha una sola variabile (b): \[ h\left(b\right)=\frac{\left(s-b\right)b}{\sqrt{\left(s-b\right)^{2}+b^{2}}} \] \[ h\left(b\right)=\frac{sb-b^{2}}{\sqrt{s^{2}-2bs+2b^{2}}} \] Calcoliamo la derivata: \[ \frac{dh}{db}=\left[\left(s-2b\right)\sqrt{s^{2}-2bs+2b^{2}}-\left(sb-b^{2}\right)\frac{4b-2s}{2\sqrt{s^{2}-2bs+2b^{2}}}\right]\cdot\frac{1}{\left|s^{2}-2bs+2b^{2}\right|} \] \[ \frac{dh}{db}=\left[\left(s-2b\right)\sqrt{s^{2}-2bs+2b^{2}}+\left(sb-b^{2}\right)\frac{s-2b}{\sqrt{s^{2}-2bs+2b^{2}}}\right]\cdot\frac{1}{\left|s^{2}-2bs+2b^{2}\right|} \] \[ \frac{dh}{db}=\frac{\left(s-2b\right)\left(s^{2}-2bs+2b^{2}\right)+\left(sb-b^{2}\right)\left(s-2b\right)}{\sqrt{s^{2}-2bs+2b^{2}}\cdot\left|s^{2}-2bs+2b^{2}\right|} \] \[ \frac{dh}{db}=\frac{\left(s-2b\right)\left(s^{2}-2bs+2b^{2}+sb-b^{2}\right)}{\sqrt{s^{2}-2bs+2b^{2}}\cdot\left|s^{2}-2bs+2b^{2}\right|} \] \[ \frac{dh}{db}=\frac{\left(s-2b\right)\left(s^{2}-bs+b^{2}\right)}{\sqrt{s^{2}-2bs+2b^{2}}\cdot\left|s^{2}-2bs+2b^{2}\right|} \] Studiamone il segno: \[ \frac{dh}{db}\geq0\rightarrow s-2b\geq0 \] perchè tutti gli altri termini sono positivi. Risulta quindi \[ b\leq\frac{1}{2}s \] Abbiamo trovato l’intervallo di b per il quale la derivata della funzione h è positiva. La funzione h(b) è crescente per b minore di s/2, decrescente per b maggiore di s/2, ha quindi un massimo per \[ b=\frac{1}{2}s \] \[ b=\frac{1}{2}\left(a+b\right) \] \[ b=\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b\rightarrow a=b \] La funzione altezza relativa all’ipotenusa ha quindi un massimo quando il triangolo rettangolo è anche isoscele: \[ a=b \]