Calcolo della derivata terza

Calcolare la derivata terza delle seguenti funzioni: Esercizio 1 \[ f\left(x\right)=x^{\frac{5}{3}} \] Soluzione \[ f’\left(x\right)=\frac{5}{3}x^{\frac{2}{3}} \] Derivando ulteriormente: \[ f”\left(x\right)=\frac{5}{3}\cdot\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} \] \[ f”\left(x\right)=\frac{10}{9}x^{-\frac{1}{3}} \] E infine deriviamo per la terza volta: \[ f”’\left(x\right)=\frac{10}{9}\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)x^{-\frac{4}{3}} \] \[ f”’\left(x\right)=-\frac{10}{27}x^{-\frac{4}{3}} \] \[ f”’\left(x\right)=-\frac{10}{27\sqrt[3]{x^{4}}} \] Esercizio 2 \[ f\left(x\right)=\ln\sin x \] Soluzione \[ f’\left(x\right)=\frac{\cos x}{\sin x} \] Derivando ulteriormente: \[ […]

Derivate e fisica – Problema 1

L’equazione oraria di un punto materiale è [ s=2t^{2}+4t+4 ] Determinare velocità e accelerazione del punto in funzione del tempo t. Soluzione L’espressione della velocità in funzione del tempo si trova derivando l’equazione oraria nella variabile t: [ v=s’left(tright) ] [ v=4t+4 ] L’espressione dell’accelerazione in funzione del tempo si trova derivando la funzione velocità […]

Derivate e fisica – Problema 2

La relazione tra la carica elettrica che attraversa la sezione di un conduttore e il relativo tempo è [ q=e^{-2t+4} ] Determinare l’intensità di corrente in funzione del tempo t. Soluzione Visto che l’intensità di corrente è definita come la variazione di carica fratto la varaziazione di tempo, [ i=frac{dq}{dt} ] l’espressione dell’intensità in funzione […]

Derivate e fisica – Problema 3

Un corpo, inizialmente fermo, scende lungo un piano inclinato di un angolo alfa rispetto all’orizzontale. Lo spazio percorso all’istante t risulta essere [ s=fleft(tright)=frac{1}{2}cdot gcdotsinalphacdot t^{2} ] Determinare velocità e accelerazione del corpo in funzione del tempo t. Se dopo 2 secondi il corpo ha acquisito una velocità di 9,8m/s, quanto vale l’ inclinazione del […]

Derivate e fisica – Problema 4

Un punto si muove di moto armonico su un asse x. Si assuma come legge oraria del moto la seguente espressione: [ xleft(tright)=2sin4pi t ] Determinare la velocità in funzione del tempo t. Determinare l’accelerazione in funzione del tempo e anche in funzione della posizione x. Soluzione L’espressione della velocità in funzione del tempo si […]

Derivate – Applicazioni fisiche

Problemi svolti sulle applicazioni fisiche del concetto matematico di derivata di funzione: Derivate e fisica – Problema 1Derivate e fisica – Problema 2Derivate e fisica – Problema 3Derivate e fisica – Problema 4 → Tutti gli esercizi di Derivate

Massimi e minimi – Problema 1

Tra tutti i triangoli con la stessa ipotenusa, trovare quello di area massima. Soluzione Chiamiamo i l’ipotenusa, ricordandoci che è una costante. Chiamiamo a e b i cateti. L’area vale: \[ A=\frac{ab}{2} \] Questa funzione ha due variabili (a e b), ma possiamo esprimere l’una in funzione dell’altra ( e dell’ipotenusa) grazie al teorema di […]

Massimi e minimi – Problema 2

Tra tutti triangoli rettangoli aventi la medesima ipotenusa di misura i, qual è quello per cui è massima la somma dell’altezza relativa all’ipotenusa e di un cateto? Soluzione Chiamiamo h l’altezza relativa all’ipotenusa. Chiamiamo a e b i cateti. Poniamo \[ s=h+b \] Questa funzione ha due variabili (h e b), ma possiamo scrivere h […]

Massimi e minimi – Problema 3

Tra tutti triangoli rettangoli aventi la medesima ipotenusa di misura i, qual è quello per cui è massima la somma dei cateti? Soluzione Chiamiamo a e b i cateti. Chiamiamo i l’ipotenusa. Poniamo \[ s=a+b \] Questa funzione ha due variabili (a e b), ma possiamo scrivere a in funzione di b e i, grazie […]

Massimi e minimi – Problema 4

Tra tutti triangoli rettangoli aventi costante la somma dei cateti, qual è quello di minima ipotenusa? Soluzione Chiamiamo a e b i cateti. Chiamiamo i l’ipotenusa. Per il teorema di Pitagora l’ipotenusa vale \[ i=\sqrt{a^{2}+b^{2}} \] Questa funzione ha due variabili (a e b), ma possiamo scrivere a in funzione di b e s, grazie […]