Calcolare la derivata terza delle seguenti funzioni:
Esercizio 1 \[ f\left(x\right)=x^{\frac{5}{3}} \] Soluzione \[ f’\left(x\right)=\frac{5}{3}x^{\frac{2}{3}} \] Derivando ulteriormente: \[ f”\left(x\right)=\frac{5}{3}\cdot\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} \] \[ f”\left(x\right)=\frac{10}{9}x^{-\frac{1}{3}} \] E infine deriviamo per la terza volta: \[ f”’\left(x\right)=\frac{10}{9}\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)x^{-\frac{4}{3}} \] \[ f”’\left(x\right)=-\frac{10}{27}x^{-\frac{4}{3}} \] \[ f”’\left(x\right)=-\frac{10}{27\sqrt[3]{x^{4}}} \] Esercizio 2 \[ f\left(x\right)=\ln\sin x \] Soluzione \[ f’\left(x\right)=\frac{\cos x}{\sin x} \] Derivando ulteriormente: \[ f”\left(x\right)=\frac{-\sin^{2}x-\cos^{2}x}{\sin^{2}x} \] \[ f”\left(x\right)=-\frac{1}{\sin^{2}x} \] \[ f”\left(x\right)=-\sin^{-2}x \] E infine deriviamo per la terza volta: \[ f”’\left(x\right)=2\sin^{-3}x\cdot\cos x \] \[ f”’\left(x\right)=\frac{2\cos x}{\sin^{3}x} \] Esercizio 3 \[ f\left(x\right)=e^{x}+e^{-x}+3 \] Soluzione \[ f’\left(x\right)=e^{x}-e^{-x} \] Derivando ulteriormente: \[ f”\left(x\right)=e^{x}+e^{-x} \] E infine deriviamo per la terza volta: \[ f”’\left(x\right)=e^{x}-e^{-x} \] \[ f”’\left(x\right)=\frac{e^{2x}-1}{e^{x}} \] Esercizio 4 \[ f\left(x\right)=e^{\sqrt{x}} \] Soluzione \[ f’\left(x\right)=e^{\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}} \] \[ f’\left(x\right)=\frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}} \] Derivando ulteriormente: \[ f”\left(x\right)=\left(\frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}\cdot2\sqrt{x}-e^{\sqrt{x}}\cdot2\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)\cdot\frac{1}{4x} \] \[ f”\left(x\right)=\left(e^{\sqrt{x}}-\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\right)\cdot\frac{1}{4x} \] \[ f”\left(x\right)=\frac{\sqrt{x}e^{\sqrt{x}}-e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{4x} \] \[ f”\left(x\right)=\frac{\sqrt{x}e^{\sqrt{x}}-e^{\sqrt{x}}}{4x^{\frac{3}{2}}} \] E infine deriviamo per la terza volta: \[ f”’\left(x\right)=\frac{\left(\frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x}\frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}-\frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}\right)4x^{\frac{3}{2}}-\left(\sqrt{x}e^{\sqrt{x}}-e^{\sqrt{x}}\right)4\cdot\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}}{16x^{3}} \] \[ f”’\left(x\right)=\frac{2x^{\frac{3}{2}}e^{\sqrt{x}}-6xe^{\sqrt{x}}+6\sqrt{x}e^{\sqrt{x}}}{16x^{3}} \] \[ f”’\left(x\right)=\frac{2x\sqrt{x}e^{\sqrt{x}}-6xe^{\sqrt{x}}+6\sqrt{x}e^{\sqrt{x}}}{16x^{3}} \] \[ f”’\left(x\right)=\frac{\sqrt{x}e^{\sqrt{x}}\left(x-3\sqrt{x}+3\right)}{8x^{3}} \]
a me non torna questo sviluppo:
f”(x)=(ex√2x−−√⋅2x−−√−ex√⋅212x−−√)⋅14x
f”(x)=(ex2x⋅2x−ex⋅212x)⋅14x
f”(x)=(ex√−ex√x−−√)⋅14x
f”(x)=(ex−exx)⋅14x
f”(x)=x−−√ex√−ex√x−−√⋅14x
f”(x)=xex−exx⋅14x
f”(x)=x−−√ex√−ex√4×32
potresti spiegarmi come fai la derivata del denominatore
Purè a me😐🖤
non capisco cosa è la frazione dopo il risultato della derivata terza nell’esercizio 3