Tra tutti i triangoli con la stessa ipotenusa, trovare quello di area massima.

Soluzione

Chiamiamo i l’ipotenusa, ricordandoci che è una costante. Chiamiamo a e b i cateti. L’area vale: \[ A=\frac{ab}{2} \] Questa funzione ha due variabili (a e b), ma possiamo esprimere l’una in funzione dell’altra ( e dell’ipotenusa) grazie al teorema di Pitagora, ad esempio: \[ a=\sqrt{i^{2}-b^{2}} \] quindi la funzione area può essere scritta solo in funzione di b: \[ A\left(b\right)=\frac{b\sqrt{i^{2}-b^{2}}}{2} \] Calcoliamo la derivata A'(b): \[ A’\left(b\right)=\frac{dA}{db}=\frac{1}{2}\left(\sqrt{i^{2}-b^{2}}+b\frac{-2b}{2\sqrt{i^{2}-b^{2}}}\right) \] \[ \frac{dA}{db}=\frac{1}{2}\left(\sqrt{i^{2}-b^{2}}-\frac{b^{2}}{\sqrt{i^{2}-b^{2}}}\right) \] Studiamo ora il segno della derivata: \[ \frac{dA}{db}\geq0 \] \[ \frac{1}{2}\left(\sqrt{i^{2}-b^{2}}-\frac{b^{2}}{\sqrt{i^{2}-b^{2}}}\right)\geq0 \] \[ \sqrt{i^{2}-b^{2}}-\frac{b^{2}}{\sqrt{i^{2}-b^{2}}}\geq0 \] \[ \sqrt{i^{2}-b^{2}}\geq\frac{b^{2}}{\sqrt{i^{2}-b^{2}}} \] Entrambi i membri risultano positivi, possiamo moltiplicare a destra e sinistra per \[ \sqrt{i^{2}-b^{2}}\neq0 \] e otteniamo: \[ i^{2}-b^{2}\geq b^{2} \] \[ i^{2}\geq2b^{2}\rightarrow b^{2}\leq\frac{i^{2}}{2}\rightarrow b\leq\frac{\sqrt{2}}{2}i \] La derivata è positiva, quindi la funzione Area crescente, per \[ b<\frac{\sqrt{2}}{2}i \] decrescente per \[ b>\frac{\sqrt{2}}{2}i \] e quindi A(b) ha un massimo per \[ b=\frac{\sqrt{2}}{2}i \] Sapendo che \[ b=i\cos\beta \] con beta angolo acuto adiacente al cateto b, e che \[ \frac{\sqrt{2}}{2}=\cos45^{o} \] otteniamo l’area massima quando l’angolo beta, e di conseguenza anche alfa, valgono 45 gradi, ovvero quando il triangolo rettangolo è anche isoscele: \[ a=b \]