MatePratica

Ricordando i limiti notevoli, calcolare i seguenti limiti: Esercizio 1 \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{2x} \] Sfruttando una proprietà delle potenze, il limite si può scrivere così: \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{2x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\left[\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\right]^{2} \] Ricordando il limite notevole \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e \] avremo \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{2x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\left[\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\right]^{2}=e^{2} \] Esercizio 2 \[ \lim_{x\rightarrow0}\left(1+2x\right)^{\frac{1}{x}} \] operiamo la sostituzione \[ z=\frac{1}{2x}\rightarrow x=\frac{1}{2z} \] Osserviamo che \[ \lim_{x\rightarrow0}z=\lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{2x}=\infty \] […]

Ricordando i limiti notevoli, calcolare i seguenti limiti: Esercizio 1 \[ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin\frac{x}{2}}{x} \] Questo limite si presenta nella forma \[ \left[\frac{0}{0}\right] \] Operiamo la sostituzione \[ t=\frac{x}{2}\rightarrow x=2t \] osserviamo che \[ \lim_{x\rightarrow0}t=\lim_{x\rightarrow0}\frac{x}{2}=0 \] quindi \[ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin\frac{x}{2}}{x}=\lim_{t\rightarrow0}\frac{\sin t}{2t}=\frac{1}{2}\lim_{t\rightarrow0}\frac{\sin t}{t} \] Ricordando il limite notevole \[ \lim_{t\rightarrow0}\frac{\sin t}{t}=1 \] otteniamo \[ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin\frac{x}{2}}{x}=\frac{1}{2}\lim_{t\rightarrow0}\frac{\sin t}{t}=\frac{1}{2}\cdot1=\frac{1}{2} \] Esercizio 2 […]

Calcolare i seguenti limiti, che si presentano in forme indeterminate: Esercizio 1 \[ \lim_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt{x}-1}{x-1} \] Questo limite si presenta nella forma indeterminata del tipo \[ \left[\frac{0}{0}\right] \] Scomponendo il denominatore come differenza di quadrati otteniamo \[ \lim_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}=\lim_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\lim_{x\rightarrow1}\frac{1}{\sqrt{x}+1} \] quindi \[ \lim_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}=\frac{1}{2} \] Esercizio 2 \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{2\log^{2}x+3}{3\log^{2}x+\log x} \] Questo limite si presenta nella forma indeterminata […]

Calcolare i seguenti limiti, che spesso si presentano in forme indeterminate: Esercizio 1 \[ \lim_{x\rightarrow\left(\frac{\pi}{3}\right)^{+}}e^{\frac{1}{2\cos x-1}} \] Questo limite NON si presenta in forma indeterminata, perchè \[ \lim_{x\rightarrow\left(\frac{\pi}{3}\right)^{+}}\cos x=\left(\frac{1}{2}\right)^{-} \] quindi l’esponente \[ \lim_{x\rightarrow\left(\frac{\pi}{3}\right)^{+}}\frac{1}{2\cos x-1}=\frac{1}{1^{-}-1}=\frac{1}{0^{-}}=-\infty \] Di conseguenza \[ \lim_{x\rightarrow\left(\frac{\pi}{3}\right)^{+}}e^{\frac{1}{2\cos x-1}}=\lim_{x\rightarrow\left(\frac{\pi}{3}\right)^{+}}e^{-\infty}=0 \] Esercizio 2 \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{x} \] Questo limite si presenta, all’interno della parentesi, nella […]

Determinare l’ordine e la parte principale dei seguenti infinitesimi: Esercizio 1 \[ f\left(x\right)=x^{2}-1 \] per \[ x\rightarrow1 \] Soluzione In questo caso l’infinitesimo campione è \[ \varphi\left(x\right)=x-1 \] Occorre determinare \[ \alpha>0 \] in modo che \[ \lim_{x\rightarrow1}\frac{x^{2}-1}{\left(x-1\right)^{\alpha}} \] sia finito e diverso da zero. Procediamo come segue: \[ \lim_{x\rightarrow1}\frac{x^{2}-1}{\left(x-1\right)^{\alpha}}=\lim_{x\rightarrow1}\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)^{\alpha}} \] \[ \lim_{x\rightarrow1}\frac{x^{2}-1}{\left(x-1\right)^{\alpha}}=\lim_{x\rightarrow1}\frac{\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)^{\alpha}}\cdot\lim_{x\rightarrow1}\left(x+1\right) \] Osserviamo […]

Determinare l’ordine e la parte principale dei seguenti infiniti: Esercizio 1 \[ f\left(x\right)=x^{3}-x^{2}+1 \] per \[ x\rightarrow\infty \] Soluzione In questo caso l’infinito campione è \[ \varphi\left(x\right)=x \] Occorre determinare \[ \alpha>0 \] in modo che \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^{3}-x^{2}+1}{x^{\alpha}} \] sia finito e diverso da zero. Osserviamo che, per \[ \alpha=3 \] otteniamo \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^{3}-x^{2}+1}{x^{\alpha}}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^{3}-x^{2}+1}{x^{3}}=1 \] […]

Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata delle seguenti funzioni nel punto indicato a fianco di ciascuna di esse: Esercizio 1 \[ f\left(x\right)=\sqrt{x^{2}-5}\;,\; x_{0}=3 \] Calcoliamo il rapporto incrementale relativamente al punto x=3 e a un generico incremento h: \[ \frac{\Delta y}{\triangle x}=\frac{f\left(3+h\right)-f\left(3\right)}{h} \] Abbiamo che \[ f\left(3\right)=\sqrt{4}=2 \] \[ f\left(3+h\right)=\sqrt{\left(3+h\right)^{2}-5}=\sqrt{h^{2}+6h+4} \] Quindi \[ […]

Scrivere l’ equazione della tangente al grafico di ciascuna delle seguenti curve nei punti la cui ascissa è indicata a fianco: Esercizio 1 \[ f\left(x\right)=\frac{x+2}{x}\;,\; x_{0}=-1 \] Soluzione Il dominio della funzione data è \[ D=\mathbb{R}-\left\{ 0\right\} \] Calcoliamo la derivata f'(x): \[ f’\left(x\right)=\frac{x-\left(x+2\right)}{x^{2}} \] \[ f’\left(x\right)=-\frac{2}{x^{2}} \] Il valore della derivata in x=-1 corrisponde […]

Calcolare la derivata seconda delle seguenti funzioni: Esercizio 1 \[ f\left(x\right)=\sqrt{x} \] Soluzione \[ f’\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}} \] Derivando ulteriormente: \[ f”\left(x\right)=\left(0-2\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)\frac{1}{\left(2\sqrt{x}\right)^{2}} \] \[ f”\left(x\right)=-\frac{1}{\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{4x} \] \[ f”\left(x\right)=-\frac{1}{4x\sqrt{x}} \] Esercizio 2 \[ f\left(x\right)=\frac{x^{3}}{x+1} \] Soluzione \[ f’\left(x\right)=\frac{3x^{2}\left(x+1\right)-x^{3}}{\left(x+1\right)^{2}} \] \[ f’\left(x\right)=\frac{3x^{3}+3x^{2}-x^{3}}{\left(x+1\right)^{2}} \] \[ f’\left(x\right)=\frac{2x^{3}+3x^{2}}{\left(x+1\right)^{2}} \] Derivando ulteriormente: \[ f”\left(x\right)=\frac{\left(6x^{2}+6x\right)\left(x+1\right)^{2}-\left(2x^{3}+3x^{2}\right)\cdot2\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)^{4}} \] \[ f”\left(x\right)=\frac{\left(x+1\right)\left[\left(6x^{2}+6x\right)\left(x+1\right)-\left(4x^{3}+6x^{2}\right)\right]}{\left(x+1\right)^{4}} \] \[ f”\left(x\right)=\frac{6x^{3}+6x^{2}+6x^{2}+6x-4x^{3}-6x^{2}}{\left(x+1\right)^{3}} \] \[ f”\left(x\right)=\frac{2x^{3}+6x^{2}+6x}{\left(x+1\right)^{3}} […]