Calcolare la derivata seconda delle seguenti funzioni:
Esercizio 1 \[ f\left(x\right)=\sqrt{x} \] Soluzione \[ f’\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}} \] Derivando ulteriormente: \[ f”\left(x\right)=\left(0-2\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)\frac{1}{\left(2\sqrt{x}\right)^{2}} \] \[ f”\left(x\right)=-\frac{1}{\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{4x} \] \[ f”\left(x\right)=-\frac{1}{4x\sqrt{x}} \] Esercizio 2 \[ f\left(x\right)=\frac{x^{3}}{x+1} \] Soluzione \[ f’\left(x\right)=\frac{3x^{2}\left(x+1\right)-x^{3}}{\left(x+1\right)^{2}} \] \[ f’\left(x\right)=\frac{3x^{3}+3x^{2}-x^{3}}{\left(x+1\right)^{2}} \] \[ f’\left(x\right)=\frac{2x^{3}+3x^{2}}{\left(x+1\right)^{2}} \] Derivando ulteriormente: \[ f”\left(x\right)=\frac{\left(6x^{2}+6x\right)\left(x+1\right)^{2}-\left(2x^{3}+3x^{2}\right)\cdot2\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)^{4}} \] \[ f”\left(x\right)=\frac{\left(x+1\right)\left[\left(6x^{2}+6x\right)\left(x+1\right)-\left(4x^{3}+6x^{2}\right)\right]}{\left(x+1\right)^{4}} \] \[ f”\left(x\right)=\frac{6x^{3}+6x^{2}+6x^{2}+6x-4x^{3}-6x^{2}}{\left(x+1\right)^{3}} \] \[ f”\left(x\right)=\frac{2x^{3}+6x^{2}+6x}{\left(x+1\right)^{3}} \] \[ f”\left(x\right)=\frac{2x\left(x^{2}+3x+3\right)}{\left(x+1\right)^{3}} \] Esercizio 3 \[ f\left(x\right)=\left(2x+1\right)e^{-x} \] Soluzione \[ f’\left(x\right)=2e^{-x}+\left(2x+1\right)\left(-e^{-x}\right) \] \[ f’\left(x\right)=2e^{-x}-2xe^{-x}-e^{-x} \] \[ f’\left(x\right)=e^{-x}-2xe^{-x} \] \[ f’\left(x\right)=e^{-x}\left(1-2x\right) \] Derivando ulteriormente: \[ f”\left(x\right)=-e^{-x}\left(1-2x\right)-2e^{-x} \] \[ f”\left(x\right)=-e^{-x}+2xe^{-x}-2e^{-x} \] \[ f”\left(x\right)=2xe^{-x}-3e^{-x} \] \[ f”\left(x\right)=e^{-x}\left(2x-3\right) \] Esercizio 4 \[ f\left(x\right)=x\sin x \] Soluzione \[ f’\left(x\right)=\sin x+x\cos x \] Derivando ulteriormente: \[ f”\left(x\right)=\cos x+\cos x-x\sin x \] \[ f”\left(x\right)=2\cos x-x\sin x \]
Ciao ho difficoltà con un segno nella derivata seconda della seguente funzione:
2x/(2-x^)^2
A me esce 6x^2+4/(2-x^2)^3, mentre provando la derivata su wolfram mathematica ottengo invece – (6x^2+4 / (2-x^2)^3 )
Se guardi bene su wolfram oltre al meno davanti, al denominatore hai x^2-2, quindi il risultato è lo stesso
Grazie sei stato chiarissimo… quindi quando faccio la derivate del denominatore per il numeratore… visto che il denominatore è al quadrato pongo il 2(x^2+1)e poi faccio la derivata di x^2 nella parantesi?????
Proprio così, esatto ;)
Come si calcola la derivata seconda di: (x-1)^3. Grazie
dovrei fare la derivata seconda di questa funzione: (x^2-1)/(x^2+1)… ho fatto gia la derivata prima che è 4x/(x^2+1)^2… so il risultato della derivata seconda ma nn so il procedimento il risultato è: 4(3x^2-1)/(x^2+1)^3… potete spiegarmi per favore il procedimentooo????
Allora deriviamo f'(x)=(4x)/(x^2+1)^2:
f”(x)=(4(x^2+1)^2 -(4x)2(x^2+1)(2x))/(x^2+1)^4
Raccolgo (x^2+1) al numeratore:
f”(x)=((x^2+1)(4(x^2+1)-(4x)2(2x)))/(x^2+1)^4
Lo semplifico col denominatore e faccio i conti dentro parentesi:
f”(x)=(4x^2+4-16x^2)/(x^2+1)^3
f”(x)=(4-12x^2)/(x^2+1)^3
puoi spiegarmi perchè nella derivata seconda dell’esercizio 4 trovo 2 volte il coseno di x?
La derivata del senx è cosx (e questo è il primo coseno). La derivata del prodotto di x per cosx è:
1*cosx + x(-senx) = cosx – xsenx. Quindi in totale ho:
cosx +cosx -xsenx = 2cosx -xsenx
Il punto è questo: stiamo derivando e^(-x) che è una funzione composta. La funzione esponenziale resta uguale, poi però dobbiamo moltiplicare per la derivata della funzione interna (l’esponente -x) ovvero -1:
e(-x) *(-1) = -e^(-x)
Nel caso di 2e^(-x) le cose non cambiano. La sua derivata vale:
-2e^(-x)
può spiegarmi nell esercizio 3,la derivata seconda.. il perchè del meno prima dell e^-x ??? mi è tutto chiaro tranne questo!!grazie