Calcolare i seguenti limiti, che si presentano in forme indeterminate:
Esercizio 1 \[ \lim_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt{x}-1}{x-1} \] Questo limite si presenta nella forma indeterminata del tipo \[ \left[\frac{0}{0}\right] \] Scomponendo il denominatore come differenza di quadrati otteniamo \[ \lim_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}=\lim_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\lim_{x\rightarrow1}\frac{1}{\sqrt{x}+1} \] quindi \[ \lim_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}=\frac{1}{2} \] Esercizio 2 \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{2\log^{2}x+3}{3\log^{2}x+\log x} \] Questo limite si presenta nella forma indeterminata del tipo \[ \left[\frac{\infty}{\infty}\right] \] Raccogliendo al numeratore e al denominatore il logaritmo di grado massimo otteniamo: \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{2\log^{2}x+3}{3\log^{2}x+\log x}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\log^{2}x\left(2+\frac{3}{\log^{2}x}\right)}{\log^{2}x\left(3+\frac{1}{\log x}\right)} \] \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{2\log^{2}x+3}{3\log^{2}x+\log x}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{2+\frac{3}{\log^{2}x}}{3+\frac{1}{\log x}} \] quindi \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{2\log^{2}x+3}{3\log^{2}x+\log x}=\frac{2}{3} \] Esercizio 3 \[ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x} \] Questo limite si presenta nella forma indeterminata del tipo \[ \left[\frac{0}{0}\right] \] Operiamo nel seguente modo, per eliminare la radice quadrata al numeratore: \[ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}\cdot\frac{\sqrt{x+4}+2}{\sqrt{x+4}+2} \] Al numeratore otteniamo una differenza di quadrati: \[ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{x+4-4}{x\cdot\left(\sqrt{x+4}+2\right)}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{x}{x\cdot\left(\sqrt{x+4}+2\right)} \] quindi \[ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{\sqrt{x+4}+2}=\frac{1}{4} \] Esercizio 4 \[ \lim_{x\rightarrow-1}\frac{\sqrt[3]{x}+1}{x+1} \] Questo limite si presenta nella forma indeterminata del tipo \[ \left[\frac{0}{0}\right] \] Scomponendo il denominatore come somma di cubi otteniamo \[ \lim_{x\rightarrow-1}\frac{\sqrt[3]{x}+1}{x+1}=\lim_{x\rightarrow-1}\frac{\sqrt[3]{x}+1}{\left(\sqrt[3]{x}+1\right)\left(\sqrt[3]{x^{2}}+1-\sqrt[3]{x}\right)} \] Semplificando rimane \[ \lim_{x\rightarrow-1}\frac{\sqrt[3]{x}+1}{x+1}=\lim_{x\rightarrow-1}\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}+1-\sqrt[3]{x}} \] quindi \[ \lim_{x\rightarrow-1}\frac{\sqrt[3]{x}+1}{x+1}=\frac{1}{3} \]
Mi svolgi questo limite step by step: lim x>0 1-cos(2x) / sin^2(3x)
ciao! potresti aiutarmi con questo limite sia per x che tende a 0 che per x che tende a infinito
(5^x-1)^((x^2+sen(x))/x^3-rad(x))
Ciao! Potresti per favore aiutarmi con questo limite? lim per x che tende a 0 di [(e^3x) -1]/[cos√x – 1]
Grazie mille!!
con De l’Hopital:
lim (3e^(3x))/[(-sin√x) / (2√x)] =
lim (-6e^(3x))/[(sin√x) / √x] = -6
visto che (sin√x)/√x=1 (riconducibile al limite notevole lim t->0 sent/t=1 )
ciao Albert,
io ho un problema con le scomposizioni,
ci sono nel sito spiegazioni su come svolgerle?
si, ecco qui:
http://www.matepratica.info/2011/12/calcolo-letterale-lezione-4-slide-1.html
Scusa Albert Potresti dirmi come fa il lim x-> +infinito di x/((e^x)-1)
fa zero, basta applicare una sola volta de l’hopital
perche x- 1 e’ uguale a radice di x – 1 per radice di x + 1 ??
perchè A^2-B^2=(A+B)(A-B)
ciao Albert. sapresti aiutarmi in questo limite? lim–>+inf di (1-3/x)^2x^2
questo sito è una bomba! buona domenica
Ciao grazie! Sostituisci t=-3/x e ti viene che per x–>+inf t–>0+, e inoltre x=-3/t e puoi scrivere:
lim t->0+ di ((1+t)^(1/t))^(-9/t) = e^(-inf)=0
Grazie!!
Grazie mille!!..continua così..avere mille esercizi spiegati in ogni passaggio ti fanno davvero capire la matematica..sei un grande
Si tratta di una forma indeterminata del tipo [inf*0]. La possiamo trasformare in una forma indeterminata [inf/inf] per poter usare De L’Hopital:
x->inf xln(1+(1/x)) =
x->inf (ln(1+(1/x)))/(1/x)
De L’Hopital:
x–>inf (1/(1+(1/x)))*(-1/x^2)) / (-1/x^2) =
x–>inf 1/(1+(1/x)) = 1
potresti aiutarmi con questo limite: xln(1+(1/x)) x->inf
grazie!!
Grazie a te del commento, buono studio!
Una spiegazione davvero ottima, ho capito tutto in meno di 30 secondi!!! Ti ringrazio davvero tanto!!! Sei molto chiaro nella spiegazione e disponibile ad aiutare gli altri!!! Fossero tutti come te!! Spero che continuerai su questa strada :) grazie ancora!
lim log(1+e^x) – |x+1|
x -> +inf
raccolgo e^x:
lim log (e^x)(1/e^x +1) – |x+1|
x -> +inf
proprietà dei logaritmi:
lim log(e^x) +log(1/e^x +1) -|x+1|
x -> +inf
lim x +0 -|x+1|
x -> +inf
lim x -|x+1|
x -> +inf
ricordando che puoi togliere il modulo perchè x+1 è positiva (x tende a +infinito):
lim x -x -1 = -1
x -> +inf
Questo commento è stato eliminato dall’autore.
perchè lim log(e^x) fa x, forse hai usato i limiti notevoli? ma essi non possiamo usarli perchè ci troviamo in ∞ o sbaglio?
Ciao, potresti aiutarmi con questo limite:
lim log(1+e^x) – |x+1|
x -> +inf
Si presenta con la forma indeterminata +inf -inf.
Non so proprio come procedere. Grazie!