Calcolare i seguenti limiti, che si presentano in forme indeterminate:

Esercizio 1 \[ \lim_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt{x}-1}{x-1} \] Questo limite si presenta nella forma indeterminata del tipo \[ \left[\frac{0}{0}\right] \] Scomponendo il denominatore come differenza di quadrati otteniamo \[ \lim_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}=\lim_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\lim_{x\rightarrow1}\frac{1}{\sqrt{x}+1} \] quindi \[ \lim_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}=\frac{1}{2} \] Esercizio 2 \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{2\log^{2}x+3}{3\log^{2}x+\log x} \] Questo limite si presenta nella forma indeterminata del tipo \[ \left[\frac{\infty}{\infty}\right] \] Raccogliendo al numeratore e al denominatore il logaritmo di grado massimo otteniamo: \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{2\log^{2}x+3}{3\log^{2}x+\log x}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\log^{2}x\left(2+\frac{3}{\log^{2}x}\right)}{\log^{2}x\left(3+\frac{1}{\log x}\right)} \] \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{2\log^{2}x+3}{3\log^{2}x+\log x}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{2+\frac{3}{\log^{2}x}}{3+\frac{1}{\log x}} \] quindi \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{2\log^{2}x+3}{3\log^{2}x+\log x}=\frac{2}{3} \] Esercizio 3 \[ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x} \] Questo limite si presenta nella forma indeterminata del tipo \[ \left[\frac{0}{0}\right] \] Operiamo nel seguente modo, per eliminare la radice quadrata al numeratore: \[ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}\cdot\frac{\sqrt{x+4}+2}{\sqrt{x+4}+2} \] Al numeratore otteniamo una differenza di quadrati: \[ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{x+4-4}{x\cdot\left(\sqrt{x+4}+2\right)}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{x}{x\cdot\left(\sqrt{x+4}+2\right)} \] quindi \[ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{\sqrt{x+4}+2}=\frac{1}{4} \] Esercizio 4 \[ \lim_{x\rightarrow-1}\frac{\sqrt[3]{x}+1}{x+1} \] Questo limite si presenta nella forma indeterminata del tipo \[ \left[\frac{0}{0}\right] \] Scomponendo il denominatore come somma di cubi otteniamo \[ \lim_{x\rightarrow-1}\frac{\sqrt[3]{x}+1}{x+1}=\lim_{x\rightarrow-1}\frac{\sqrt[3]{x}+1}{\left(\sqrt[3]{x}+1\right)\left(\sqrt[3]{x^{2}}+1-\sqrt[3]{x}\right)} \] Semplificando rimane \[ \lim_{x\rightarrow-1}\frac{\sqrt[3]{x}+1}{x+1}=\lim_{x\rightarrow-1}\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}+1-\sqrt[3]{x}} \] quindi \[ \lim_{x\rightarrow-1}\frac{\sqrt[3]{x}+1}{x+1}=\frac{1}{3} \]