Ricordando i limiti notevoli, calcolare i seguenti limiti:

Esercizio 1 \[ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin\frac{x}{2}}{x} \] Questo limite si presenta nella forma \[ \left[\frac{0}{0}\right] \] Operiamo la sostituzione \[ t=\frac{x}{2}\rightarrow x=2t \] osserviamo che \[ \lim_{x\rightarrow0}t=\lim_{x\rightarrow0}\frac{x}{2}=0 \] quindi \[ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin\frac{x}{2}}{x}=\lim_{t\rightarrow0}\frac{\sin t}{2t}=\frac{1}{2}\lim_{t\rightarrow0}\frac{\sin t}{t} \] Ricordando il limite notevole \[ \lim_{t\rightarrow0}\frac{\sin t}{t}=1 \] otteniamo \[ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin\frac{x}{2}}{x}=\frac{1}{2}\lim_{t\rightarrow0}\frac{\sin t}{t}=\frac{1}{2}\cdot1=\frac{1}{2} \] Esercizio 2 \[ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\tan x}{3x} \] Questo limite si presenta nella forma \[ \left[\frac{0}{0}\right] \] Procediamo nel seguente modo: \[ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\tan x}{3x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{\cos x}\cdot\frac{1}{3x} \] \[ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\tan x}{3x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{x}\cdot\frac{1}{3\cos x} \] Visto che \[ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{x}=1 \] ed è un limite notevole, mentre \[ \lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{3\cos x}=\frac{1}{3} \] avremo che \[ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\tan x}{3x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{x}\cdot\frac{1}{3\cos x}=1\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{3} \] Esercizio 3 \[ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\tan x+\sin x}{3x} \] Questo limite si presenta nella forma \[ \left[\frac{0}{0}\right] \] Procediamo nel seguente modo: \[ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\tan x+\sin x}{3x}=\lim_{x\rightarrow0}\left(\frac{\tan x}{3x}+\frac{\sin x}{3x}\right)=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\tan x}{3x}+\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{3x} \] Il primo dei due l’abbiamo calcolato nell’esercizio precendente: \[ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\tan x}{3x}=\frac{1}{3} \] Il secondo è un limite notevole: \[ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{3x}=\frac{1}{3}\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{x}=\frac{1}{3}\cdot1=\frac{1}{3} \] Di conseguenza \[ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\tan x+\sin x}{3x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\tan x}{3x}+\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{3x}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3} \] Esercizio 4 \[ \lim_{x\rightarrow0}\frac{x^{3}}{\sin^{2}x} \] Questo limite si presenta nella forma \[ \left[\frac{0}{0}\right] \] Procediamo nel seguente modo: \[ \lim_{x\rightarrow0}\frac{x^{3}}{\sin^{2}x}=\lim_{x\rightarrow0}\left(\frac{x^{2}}{\sin^{2}x}\cdot x\right) \] \[ \lim_{x\rightarrow0}\frac{x^{3}}{\sin^{2}x}=\lim_{x\rightarrow0}\left[\left(\frac{x}{\sin x}\right)^{2}\cdot x\right] \] \[ \lim_{x\rightarrow0}\frac{x^{3}}{\sin^{2}x}=\left(\lim_{x\rightarrow0}\frac{x}{\sin x}\right)^{2}\cdot\lim_{x\rightarrow0}x \] Visto che \[ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{x}{\sin x}=1 \] ed è un limite notevole, mentre \[ \lim_{x\rightarrow0}x=0 \] avremo che \[ \lim_{x\rightarrow0}\frac{x^{3}}{\sin^{2}x}=\left(\lim_{x\rightarrow0}\frac{x}{\sin x}\right)^{2}\cdot\lim_{x\rightarrow0}x=1^{2}\cdot0=0 \]