Calcolare i seguenti limiti, che spesso si presentano in forme indeterminate:

Esercizio 1 \[ \lim_{x\rightarrow\left(\frac{\pi}{3}\right)^{+}}e^{\frac{1}{2\cos x-1}} \] Questo limite NON si presenta in forma indeterminata, perchè \[ \lim_{x\rightarrow\left(\frac{\pi}{3}\right)^{+}}\cos x=\left(\frac{1}{2}\right)^{-} \] quindi l’esponente \[ \lim_{x\rightarrow\left(\frac{\pi}{3}\right)^{+}}\frac{1}{2\cos x-1}=\frac{1}{1^{-}-1}=\frac{1}{0^{-}}=-\infty \] Di conseguenza \[ \lim_{x\rightarrow\left(\frac{\pi}{3}\right)^{+}}e^{\frac{1}{2\cos x-1}}=\lim_{x\rightarrow\left(\frac{\pi}{3}\right)^{+}}e^{-\infty}=0 \] Esercizio 2 \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{x} \] Questo limite si presenta, all’interno della parentesi, nella forma indeterminata del tipo \[ \left[\frac{\infty}{\infty}\right] \] Risolvendolo come una fratta, otterremo comunque una forma indeterminata del tipo \[ \left[1^{\infty}\right] \] quindi procediamo come segue: \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\left(\frac{x-1+2}{x-1}\right)^{x} \] \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\left(1+\frac{2}{x-1}\right)^{x} \] Poniamo \[ t=\frac{x-1}{2}\rightarrow x=2t+1 \] Notiamo che \[ \lim_{x\rightarrow\infty}t=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x-1}{2}=\infty \] quindi \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{x}=\lim_{t\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{t}\right)^{2t+1}=\lim_{t\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{t}\right)^{2t}\cdot\left(1+\frac{1}{t}\right) \] \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{x}=\lim_{t\rightarrow\infty}\left[\left(1+\frac{1}{t}\right)^{t}\right]^{2}\cdot\left(1+\frac{1}{t}\right) \] dove nel primo fattore abbiamo un limite notevole: \[ \lim_{t\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{t}\right)^{t}=e \] e il secondo tende a 1. Otteniamo: \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{x}=e^{2}\cdot1=e^{2} \] Esercizio 3 \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x+2}\right) \] Questo limite si presenta nella forma indeterminata del tipo \[ \left[\infty-\infty\right] \] Moltiplichiamo e dividiamo per la somma delle radici: \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x+2}\right)=\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x+2}\right)\cdot\frac{\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}\right)}{\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}\right)} \] \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x+2}\right)=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x+1-x-2}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}} \] \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x+2}\right)=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{-1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}}=0^{-} \] Esercizio 4 \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\ln\left(x+1\right)}{\ln\left(x+3\right)} \] Questo limite si presenta nella forma indeterminata del tipo \[ \left[\frac{\infty}{\infty}\right] \] Raccogliamo x all’argomento dei logaritmi: \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\ln\left(x+1\right)}{\ln\left(x+3\right)}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\ln\left[x\left(1+\frac{1}{x}\right)\right]}{\ln\left[x\left(1+\frac{3}{x}\right)\right]} \] Applichiamo il teorema del logaritmo di un prodotto: \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\ln\left(x+1\right)}{\ln\left(x+3\right)}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\ln x+\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)}{\ln x+\ln\left(1+\frac{3}{x}\right)} \] Dato che \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)=\lim_{x\rightarrow+\infty}\ln\left(1+\frac{3}{x}\right)=0 \] otteniamo \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\ln\left(x+1\right)}{\ln\left(x+3\right)}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\ln x}{\ln x}=1 \]