Determinare l’ordine e la parte principale dei seguenti infiniti:

Esercizio 1 \[ f\left(x\right)=x^{3}-x^{2}+1 \] per \[ x\rightarrow\infty \] Soluzione

In questo caso l’infinito campione è \[ \varphi\left(x\right)=x \] Occorre determinare \[ \alpha>0 \] in modo che \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^{3}-x^{2}+1}{x^{\alpha}} \] sia finito e diverso da zero.

Osserviamo che, per \[ \alpha=3 \] otteniamo \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^{3}-x^{2}+1}{x^{\alpha}}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^{3}-x^{2}+1}{x^{3}}=1 \] che è finito e diverso da zero. Quindi l’ordine dell’infinito dato è \[ \alpha=3 \] mentre il limite vale \[ l=1 \] Calcoliamo la parte principale: \[ l\cdot\left[\varphi\left(x\right)\right]^{\alpha}=1\cdot x^{3}=x^{3} \] Quindi la parte principale dell’infinito dato è \[ x^{3} \] Esercizio 2 \[ f\left(x\right)=\frac{3x^{2}-4}{x} \] per \[ x\rightarrow\infty \] Soluzione

In questo caso l’infinito campione è \[ \varphi\left(x\right)=x \] Occorre determinare \[ \alpha>0 \] in modo che \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\frac{3x^{2}-4}{x}}{x^{\alpha}} \] sia finito e diverso da zero.

Procediamo come segue: \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\frac{3x^{2}-4}{x}}{x^{\alpha}}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{3x^{2}-4}{x}\cdot\frac{1}{x^{\alpha}}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{3x^{2}-4}{x^{\alpha+1}} \] Affinchè il limite sia finito \[ \alpha+1=2\rightarrow\alpha=1 \] e otteniamo \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{3x^{2}-4}{x^{\alpha+1}}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{3x^{2}-4}{x^{2}}=3 \] che è finito e diverso da zero. Quindi l’ordine dell’infinito dato è \[ \alpha=1 \] mentre il limite vale \[ l=3 \] Calcoliamo la parte principale: \[ l\cdot\left[\varphi\left(x\right)\right]^{\alpha}=3\cdot x^{1}=3x \] Quindi la parte principale dell’infinito dato è \[ 3x \] Esercizio 3 \[ f\left(x\right)=\frac{5x}{\left(x^{2}-3x+2\right)^{2}} \] per \[ x\rightarrow1 \] Soluzione

In questo caso l’infinito campione è \[ \varphi\left(x\right)=\frac{1}{x-1} \] Occorre determinare \[ \alpha>0 \] in modo che \[ \lim_{x\rightarrow1}\frac{\frac{5x}{\left(x^{2}-3x+2\right)^{2}}}{\left(\frac{1}{x-1}\right)^{\alpha}} \] sia finito e diverso da zero.

Procediamo come segue: \[ \lim_{x\rightarrow1}\frac{\frac{5x}{\left(x^{2}-3x+2\right)^{2}}}{\left(\frac{1}{x-1}\right)^{\alpha}}=\lim_{x\rightarrow1}\frac{5x\left(x-1\right)^{\alpha}}{\left(x^{2}-3x+2\right)^{2}}= \] \[ =\lim_{x\rightarrow1}\frac{5x\left(x-1\right)^{\alpha}}{\left(x-2\right)^{2}\left(x-1\right)^{2}} \] Osserviamo che, per \[ \alpha=2 \] otteniamo \[ \lim_{x\rightarrow1}\frac{5x\left(x-1\right)^{2}}{\left(x-2\right)^{2}\left(x-1\right)^{2}}=\lim_{x\rightarrow1}\frac{5x}{\left(x-2\right)^{2}}=5 \] che è finito e diverso da zero. Quindi l’ordine dell’infinito dato è \[ \alpha=2 \] mentre il limite vale \[ l=5 \] Calcoliamo la parte principale: \[ l\cdot\left[\varphi\left(x\right)\right]^{\alpha}=5\cdot\left(\frac{1}{x-1}\right)^{2}=\frac{5}{\left(x-1\right)^{2}} \] Quindi la parte principale dell’infinito dato è \[ \frac{5}{\left(x-1\right)^{2}} \] Esercizio 4 \[ f\left(x\right)=\frac{2+3x}{\sqrt[3]{x}} \] per \[ x\rightarrow0^{+} \] Soluzione

In questo caso l’infinito campione è \[ \varphi\left(x\right)=\frac{1}{x} \] Occorre determinare \[ \alpha>0 \] in modo che \[ \lim_{x\rightarrow0^{+}}\frac{\frac{2+3x}{\sqrt[3]{x}}}{\left(\frac{1}{x}\right)^{\alpha}} \] sia finito e diverso da zero.

Procediamo come segue: \[ \lim_{x\rightarrow0^{+}}\frac{\frac{2+3x}{\sqrt[3]{x}}}{\left(\frac{1}{x}\right)^{\alpha}}=\lim_{x\rightarrow0^{+}}\frac{2+3x}{\sqrt[3]{x}}\cdot x^{\alpha} \] Osserviamo che, per \[ \alpha=\frac{1}{3} \] otteniamo \[ \lim_{x\rightarrow0^{+}}\frac{2+3x}{\sqrt[3]{x}}\cdot x^{\frac{1}{3}}=\lim_{x\rightarrow0^{+}}\frac{2+3x}{\sqrt[3]{x}}\cdot\sqrt[3]{x}=\lim_{x\rightarrow0^{+}}\left(2+3x\right)=2 \] che è finito e diverso da zero. Quindi l’ordine dell’infinito dato è \[ \alpha=\frac{1}{3} \] mentre il limite vale \[ l=2 \] Calcoliamo la parte principale: \[ l\cdot\left[\varphi\left(x\right)\right]^{\alpha}=2\cdot\left(\frac{1}{x}\right)^{\frac{1}{3}}=\frac{2}{\sqrt[3]{x}} \] Quindi la parte principale dell’infinito dato è \[ \frac{2}{\sqrt[3]{x}} \]