Determinare l’ordine e la parte principale dei seguenti infinitesimi:

Esercizio 1 \[ f\left(x\right)=x^{2}-1 \] per \[ x\rightarrow1 \] Soluzione

In questo caso l’infinitesimo campione è \[ \varphi\left(x\right)=x-1 \] Occorre determinare \[ \alpha>0 \] in modo che \[ \lim_{x\rightarrow1}\frac{x^{2}-1}{\left(x-1\right)^{\alpha}} \] sia finito e diverso da zero.

Procediamo come segue: \[ \lim_{x\rightarrow1}\frac{x^{2}-1}{\left(x-1\right)^{\alpha}}=\lim_{x\rightarrow1}\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)^{\alpha}} \] \[ \lim_{x\rightarrow1}\frac{x^{2}-1}{\left(x-1\right)^{\alpha}}=\lim_{x\rightarrow1}\frac{\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)^{\alpha}}\cdot\lim_{x\rightarrow1}\left(x+1\right) \] Osserviamo che, per \[ \alpha=1 \] otteniamo \[ \lim_{x\rightarrow1}\frac{x^{2}-1}{\left(x-1\right)^{\alpha}}=1\cdot2=2 \] che è finito e diverso da zero. Quindi l’ordine dell’infinitesimo dato è \[ \alpha=1 \] mentre il limite vale \[ l=2 \] Calcoliamo la parte principale: \[ l\cdot\left[\varphi\left(x\right)\right]^{\alpha}=2\cdot\left(x-1\right)^{1}=2\left(x-1\right) \] Quindi la parte principale dell’infinitesimo dato è \[ 2\left(x-1\right) \] Esercizio 2 \[ f\left(x\right)=\sin x \] per \[ x\rightarrow0 \] Soluzione

In questo caso l’infinitesimo campione è \[ \varphi\left(x\right)=x \] Occorre determinare \[ \alpha>0 \] in modo che \[ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{x^{\alpha}} \] sia finito e diverso da zero.

Osserviamo che, per \[ \alpha=1 \] otteniamo \[ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{x^{1}}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{x}=1 \] perchè è un limite notevole. Quindi l’ordine dell’infinitesimo dato è \[ \alpha=1 \] mentre il limite vale \[ l=1 \] Calcoliamo la parte principale: \[ l\cdot\left[\varphi\left(x\right)\right]^{\alpha}=1\cdot x^{1}=x \] Quindi la parte principale dell’infinitesimo dato è \[ x \] Esercizio 3 \[ f\left(x\right)=\frac{1}{x^{2}+3x-1} \] per \[ x\rightarrow\infty \] Soluzione

In questo caso l’infinitesimo campione è \[ \varphi\left(x\right)=\frac{1}{x} \] Occorre determinare \[ \alpha>0 \] in modo che \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\frac{1}{x^{2}+3x-1}}{\left(\frac{1}{x}\right)^{\alpha}} \] sia finito e diverso da zero.

Procediamo come segue: \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\frac{1}{x^{2}+3x-1}}{\left(\frac{1}{x}\right)^{\alpha}}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{x^{2}+3x-1}\cdot x^{\alpha}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^{\alpha}}{x^{2}+3x-1} \] Osserviamo che, per \[ \alpha=2 \] otteniamo \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^{2}}{x^{2}+3x-1}=1 \] che è finito e diverso da zero. Quindi l’ordine dell’infinitesimo dato è \[ \alpha=2 \] mentre il limite vale \[ l=1 \] Calcoliamo la parte principale: \[ l\cdot\left[\varphi\left(x\right)\right]^{\alpha}=1\cdot\left(\frac{1}{x}\right)^{2}=\frac{1}{x^{2}} \] Quindi la parte principale dell’infinitesimo dato è \[ \frac{1}{x^{2}} \] Esercizio 4 \[ f\left(x\right)=\sqrt[3]{x-2} \] per \[ x\rightarrow2 \] Soluzione

In questo caso l’infinitesimo campione è \[ \varphi\left(x\right)=x-2 \] Occorre determinare \[ \alpha>0 \] in modo che \[ \lim_{x\rightarrow2}\frac{\sqrt[3]{x-2}}{\left(x-2\right)^{\alpha}} \] sia finito e diverso da zero.

Al numeratore trasformiamo la radice in esponente: \[ \lim_{x\rightarrow2}\frac{\sqrt[3]{x-2}}{\left(x-2\right)^{\alpha}}=\lim_{x\rightarrow2}\frac{\left(x-2\right)^{\frac{1}{3}}}{\left(x-2\right)^{\alpha}} \] Osserviamo che, per \[ \alpha=\frac{1}{3} \] otteniamo \[ \lim_{x\rightarrow2}\frac{\left(x-2\right)^{\frac{1}{3}}}{\left(x-2\right)^{\frac{1}{3}}}=1 \] che è finito e diverso da zero. Quindi l’ordine dell’infinitesimo dato è \[ \alpha=\frac{1}{3} \] mentre il limite vale \[ l=1 \] Calcoliamo la parte principale: \[ l\cdot\left[\varphi\left(x\right)\right]^{\alpha}=1\cdot\left(x-2\right)^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{x-2} \] Quindi la parte principale dell’infinitesimo dato è \[ \sqrt[3]{x-2} \]