Ricordando i limiti notevoli, calcolare i seguenti limiti:
Esercizio 1 \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{2x} \] Sfruttando una proprietà delle potenze, il limite si può scrivere così: \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{2x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\left[\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\right]^{2} \] Ricordando il limite notevole \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e \] avremo \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{2x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\left[\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\right]^{2}=e^{2} \] Esercizio 2 \[ \lim_{x\rightarrow0}\left(1+2x\right)^{\frac{1}{x}} \] operiamo la sostituzione \[ z=\frac{1}{2x}\rightarrow x=\frac{1}{2z} \] Osserviamo che \[ \lim_{x\rightarrow0}z=\lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{2x}=\infty \] Si ha quindi: \[ \lim_{x\rightarrow0}\left(1+2x\right)^{\frac{1}{x}}=\lim_{z\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{z}\right)^{2z} \] \[ \lim_{z\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{z}\right)^{2z}=\lim_{z\rightarrow\infty}\left[\left(1+\frac{1}{z}\right)^{z}\right]^{2} \] Ricordando il limite notevole \[ \lim_{z\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{z}\right)^{z}=e \] avremo \[ \lim_{x\rightarrow0}\left(1+2x\right)^{\frac{1}{x}}=\lim_{z\rightarrow\infty}\left[\left(1+\frac{1}{z}\right)^{z}\right]^{2}=e^{2} \] Esercizio 3 \[ \lim_{x\rightarrow0}\left(1-\frac{2x}{3}\right)^{-\frac{1}{x}} \] operiamo la sostituzione \[ z=-\frac{3}{2x}\rightarrow x=-\frac{3}{2z} \] Osserviamo che \[ \lim_{x\rightarrow0}z=\lim_{x\rightarrow0}-\frac{3}{2x}=\infty \] Si ha quindi: \[ \lim_{x\rightarrow0}\left(1-\frac{2x}{3}\right)^{-\frac{1}{x}}=\lim_{z\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{z}\right)^{\frac{2z}{3}} \] \[ \lim_{z\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{z}\right)^{\frac{2z}{3}}=\lim_{z\rightarrow\infty}\left[\left(1+\frac{1}{z}\right)^{z}\right]^{\frac{2}{3}} \] Ricordando il limite notevole \[ \lim_{z\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{z}\right)^{z}=e \] avremo \[ \lim_{x\rightarrow0}\left(1-\frac{2x}{3}\right)^{-\frac{1}{x}}=\lim_{z\rightarrow\infty}\left[\left(1+\frac{1}{z}\right)^{z}\right]^{\frac{2}{3}}=e^{\frac{2}{3}} \] Esercizio 4 \[ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\log_{3}\left(1+x\right)}{2x} \] Il limite è nella forma \[ \left[\frac{0}{0}\right] \] Operiamo nel seguente modo: \[ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\log_{3}\left(1+x\right)}{2x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{2x}\log_{3}\left(1+x\right)=\lim_{x\rightarrow0}\log_{3}\left(1+x\right)^{\frac{1}{2x}} \] Per la continuità della funzione logaritmica: \[ \lim_{x\rightarrow0}\log_{3}\left(1+x\right)^{\frac{1}{2x}}=\log_{3}\left[\lim_{x\rightarrow0}\left(1+x\right)^{\frac{1}{2x}}\right] \] Possiamo stabilire facilmente che (vedi esercizi 1,2,3 di questa batteria): \[ \lim_{x\rightarrow0}\left(1+x\right)^{\frac{1}{2x}}=e^{\frac{1}{2}} \] quindi \[ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\log_{3}\left(1+x\right)}{2x}=\log_{3}\left[\lim_{x\rightarrow0}\left(1+x\right)^{\frac{1}{2x}}\right]=\log_{3}e^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\log_{3}e \]
Mi é chiaro come nei primi tre esercizi, una volta ricondotto il limite in una forma riconoscibile, si possa dire che sia uguale al numero e, elevato a qualcosa.
In particolare nel terzo esercizio l’esponente dell’argomento del limite è x*2/3, e il risultato è e^2/3. Ma nel quarto esercizio, l’esponente dell’argomento del limite é 1/x*1/2, e non x*1/2. Come arriva quindi alla soluzione e^1/2?
Un’altra domanda: non sarei mai arrivato a capire da solo che sostituzioni operare per risolvere gli esercizi, in generale lei che criterio usa per scegliere la sostituzione da effettuare nel primo passaggio degli esercizi 2, e 3?
Grazie
Nel quarto esercizio il limite notevole è
lim(x->0) (1+x)^(1/x) = e
La sostituzione va fatta in modo tale che poi ti venga fuori un limite notevole: la impari a fare facendo esercizi…per esempio nel secondo voglio avere 1/z al posto del 2x, quindi pongo x=1/(2z)
Nel 4° esercizio non posso riconoscere direttamente il limite notevole legato al [log_3(1+x)]/2x raccogliendo 1/2 e portandolo fuori dal limite avrei (1/2)*lim(x->0) [log_3(1+x)]/x = 1/(2ln(3)) che però è diverso dal tuo risultato