Un corpo, inizialmente fermo, scende lungo un piano inclinato di un angolo alfa rispetto all’orizzontale. Lo spazio percorso all’istante t risulta essere \[ s=f\left(t\right)=\frac{1}{2}\cdot g\cdot\sin\alpha\cdot t^{2} \] Determinare velocità e accelerazione del corpo in funzione del tempo t.
Se dopo 2 secondi il corpo ha acquisito una velocità di 9,8m/s, quanto vale l’ inclinazione del piano?

Soluzione

Visto che la velocità è definita come la variazione di spazio percorso fratto la varaziazione di tempo, \[ v=\frac{ds}{dt} \] l’espressione della velocità in funzione del tempo si trova derivando la funzione spazio nella variabile t: \[ v=\frac{ds}{dt}=s’\left(t\right) \] \[ v=\frac{1}{2}g\sin\alpha\cdot2t \] \[ v=gt\sin\alpha \] Per rispondere alla seconda domanda invertiamo quest’ultima formula e ci ricaviamo alfa: \[ \sin\alpha=\frac{v}{gt} \] \[ \alpha=\arcsin\frac{v}{gt} \] \[ \alpha=\arcsin\frac{9,8}{9,8\cdot2}=\arcsin\frac{1}{2}=30^{o} \] \[ \alpha=30^{o} \] Derivando la funzione velocità rispetto al tempo otteniamo l’accelerazione: \[ a=v’\left(t\right)=s”\left(t\right) \] \[ a=g\sin\alpha \]