Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata delle seguenti funzioni in un generico punto x del rispettivo dominio. Confrontare il dominio D della funzione data con il dominio D’ della sua funzione derivata.

Esercizio 1 \[ f\left(x\right)=\frac{x+1}{x-2} \] Il dominio della funzione data è \[ D=\mathbb{R}-\left\{ 2\right\} \] Calcoliamo il rapporto incrementale relativamente al punto generico x e a un generico incremento h: \[ \frac{\Delta y}{\triangle x}=\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} \] Abbiamo che \[ f\left(x+h\right)=\frac{x+h+1}{x+h-2} \] Quindi \[ f’\left(x\right)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\triangle y}{\triangle x} \] \[ f’\left(x\right)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} \] \[ f’\left(x\right)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\frac{x+h+1}{x+h-2}-\frac{x+1}{x-2}}{h}=\lim_{h\rightarrow0}\left(\frac{x+h+1}{x+h-2}-\frac{x+1}{x-2}\right)\cdot\frac{1}{h} \] \[ f’\left(x\right)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{x^{2}+hx+x-2x-2h-2-x^{2}-x-hx-h+2x+2}{h\left(x+h-2\right)\left(x-2\right)} \] \[ f’\left(x\right)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{-3h}{h\left(x+h-2\right)\left(x-2\right)} \] \[ f’\left(x\right)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{-3}{\left(x+h-2\right)\left(x-2\right)} \] \[ f’\left(x\right)=-\frac{3}{\left(x-2\right)^{2}} \] Il dominio della funzione derivata è \[ D’=\mathbb{R}-\left\{ 2\right\} \] Esercizio 2 \[ f\left(x\right)=\sqrt{2x+3} \] Il dominio della funzione data è \[ D=\left[-\frac{3}{2};+\infty\right) \] Calcoliamo il rapporto incrementale relativamente al punto generico x e a un generico incremento h: \[ \frac{\Delta y}{\triangle x}=\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} \] Abbiamo che \[ f\left(x+h\right)=\sqrt{2\left(x+h\right)+3} \] Quindi \[ f’\left(x\right)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\triangle y}{\triangle x} \] \[ f’\left(x\right)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} \] \[ f’\left(x\right)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\sqrt{2\left(x+h\right)+3}-\sqrt{2x+3}}{h} \] \[ f’\left(x\right)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\sqrt{2\left(x+h\right)+3}-\sqrt{2x+3}}{h}\cdot\frac{\sqrt{2\left(x+h\right)+3}+\sqrt{2x+3}}{\sqrt{2\left(x+h\right)+3}+\sqrt{2x+3}} \] \[ f’\left(x\right)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{2x+2h+3-2x-3}{h\left(\sqrt{2\left(x+h\right)+3}+\sqrt{2x+3}\right)} \] \[ f’\left(x\right)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{2h}{h\left(\sqrt{2\left(x+h\right)+3}+\sqrt{2x+3}\right)} \] \[ f’\left(x\right)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{2}{\sqrt{2\left(x+h\right)+3}+\sqrt{2x+3}} \] \[ f’\left(x\right)=\frac{2}{\sqrt{2x+3}+\sqrt{2x+3}} \] \[ f’\left(x\right)=\frac{2}{2\sqrt{2x+3}} \] \[ f’\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2x+3}} \] Il dominio della funzione derivata è \[ D=\left(-\frac{3}{2};+\infty\right) \] Esercizio 3 \[ f\left(x\right)=\ln\left(2x\right) \] Il dominio della funzione data è \[ D=\left(0;+\infty\right) \] Calcoliamo il rapporto incrementale relativamente al punto generico x e a un generico incremento h: \[ \frac{\Delta y}{\triangle x}=\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} \] Abbiamo che \[ f\left(x+h\right)=\ln\left[2\left(x+h\right)\right] \] Quindi \[ f’\left(x\right)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\triangle y}{\triangle x} \] \[ f’\left(x\right)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} \] \[ f’\left(x\right)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\ln\left[2\left(x+h\right)\right]-\ln\left(2x\right)}{h} \] \[ f’\left(x\right)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\ln2+\ln\left(x+h\right)-\ln2-\ln x}{h} \] \[ f’\left(x\right)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\ln\left(x+h\right)-\ln x}{h} \] Procediamo come segue: \[ f’\left(x\right)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\ln\left(x+h\right)-\ln x}{h}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{1}{h}\cdot\ln\frac{x+h}{x} \] \[ f’\left(x\right)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{1}{h}\cdot\ln\frac{x+h}{x}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{1}{x}\cdot\frac{x}{h}\cdot\ln\left(1+\frac{h}{x}\right) \] \[ f’\left(x\right)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{1}{x}\cdot\ln\left(1+\frac{h}{x}\right)^{\frac{h}{x}} \] Se poniamo \[ t=\frac{x}{h}\rightarrow\frac{h}{x}=\frac{1}{t} \] osserviamo che \[ \lim_{h\rightarrow0}t=\lim_{h\rightarrow0}\frac{x}{h}=\infty \] e il limite si può riscrivere così: \[ f’\left(x\right)=\lim_{t\rightarrow\infty}\frac{1}{x}\cdot\ln\left(1+\frac{1}{t}\right)^{t} \] \[ f’\left(x\right)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{1}{x}\cdot\ln e \] \[ f’\left(x\right)=\frac{1}{x} \] La funzione derivata esiste in ogni punto di esistenza della funzione data, quindi \[ D’=D=\left(0;+\infty\right) \]