Equazioni differenziali: esercizi svolti e metodi di risoluzione
Un’equazione differenziale è un’equazione in cui l’incognita è una funzione e compaiono le sue derivate. Sono lo strumento matematico con cui si descrivono la crescita esponenziale, i circuiti elettrici, il moto di un pendolo e decine di altri fenomeni. In questa pagina trovi la teoria essenziale, due esercizi svolti passo per passo — un’equazione a variabili separabili e una lineare del primo ordine — e l’indice di tutti gli esercizi disponibili su MatePratica.
Indice
- Definizione e classificazione
- Equazioni a variabili separabili — metodo e esercizio svolto
- Equazioni lineari del primo ordine — metodo e esercizio svolto
- Equazioni lineari del secondo ordine — metodo e esercizio svolto
- Applicazioni delle equazioni differenziali
- Domande frequenti
- Esercizi svolti — indice completo
Definizione e classificazione
Un’equazione differenziale ordinaria (ODE) è un’equazione della forma $F(x,\, y,\, y’,\, y”,\, \ldots,\, y^{(n)}) = 0$, dove $y = y(x)$ è la funzione incognita. L’ordine dell’equazione è l’ordine massimo di derivata che compare.
- Ordine 1: compare al più $y’$. Esempi: $y’ = 2x$, $\;y’ + p(x)\,y = q(x)$
- Ordine 2: compare al più $y”$. Esempio: $y” + \omega^2 y = 0$ (oscillatore armonico)
Soluzione generale e soluzione particolare. La soluzione generale contiene costanti arbitrarie ($C$, $C_1$, $C_2$, …). La soluzione particolare si ottiene imponendo condizioni iniziali, ad esempio $y(0) = 1$ oppure $y'(0) = 0$.
Per derivare in modo sicuro — prerequisito fondamentale per le ODE — consulta la pagina Derivate: regole e esercizi svolti.
Equazioni a variabili separabili
Un’equazione differenziale del primo ordine è a variabili separabili se si può scrivere nella forma:
$$y’ = f(x) \cdot g(y)$$
Il metodo di risoluzione si articola in tre passi:
- Separare le variabili: $\dfrac{dy}{g(y)} = f(x)\,dx$
- Integrare entrambi i membri
- Esplicitare $y$ rispetto a $x$ (quando possibile)
Esercizio svolto 1: equazione a variabili separabili
Risolvere l’equazione differenziale $y’ = 2y$
Svolgimento
Riscrivo $y’ = \dfrac{dy}{dx}$ e separo le variabili:
$$\frac{dy}{y} = 2\,dx$$
Integro entrambi i membri (l’integrale di $1/y$ è $\ln|y|$):
$$\int \frac{dy}{y} = \int 2\,dx$$
$$\ln|y| = 2x + k, \quad k \in \mathbb{R}$$
Applico l’esponenziale ad entrambi i membri per ricavare $y$:
$$|y| = e^{2x + k} = e^k \cdot e^{2x}$$
Pongo $C = \pm e^k$ (costante reale arbitraria). L’integrale generale è:
$$\boxed{y = C\,e^{2x}, \quad C \in \mathbb{R}}$$
(La soluzione $y = 0$ corrisponde a $C = 0$ ed è inclusa.)
Verifica: $y’ = 2C e^{2x} = 2\,y$ ✓
Esempio con condizione iniziale — problema di Cauchy. Se aggiungiamo $y(0) = 3$, sostituisco $x = 0$:
$$3 = C\,e^0 = C \implies C = 3$$
La soluzione particolare è $y = 3e^{2x}$.
Equazioni lineari del primo ordine
Un’equazione lineare del primo ordine ha la forma standard:
$$y’ + p(x)\,y = q(x)$$
dove $p(x)$ e $q(x)$ sono funzioni continue. Il metodo del fattore integrante $\mu(x) = e^{\int p(x)\,dx}$ trasforma il primo membro in una derivata esatta:
$$\frac{d}{dx}\bigl[\mu(x)\cdot y\bigr] = \mu(x)\cdot q(x)$$
Integrando, la formula risolutiva è:
$$y = \frac{1}{\mu(x)}\left[\int \mu(x)\,q(x)\,dx + C\right]$$
Esercizio svolto 2: equazione lineare del primo ordine
Risolvere $y’ – y = e^{2x}$
Svolgimento
Passo 1 — identifico $p(x)$ e $q(x)$. Confrontando con la forma standard $y’ + p(x)y = q(x)$:
- $p(x) = -1$
- $q(x) = e^{2x}$
Passo 2 — calcolo il fattore integrante.
$$\mu(x) = e^{\int p(x)\,dx} = e^{\int (-1)\,dx} = e^{-x}$$
Passo 3 — moltiplico entrambi i membri per $\mu(x) = e^{-x}$.
$$e^{-x} y’ – e^{-x} y = e^{-x} \cdot e^{2x} = e^{x}$$
Il primo membro è la derivata del prodotto $e^{-x}\,y$:
$$\frac{d}{dx}\bigl[e^{-x}\,y\bigr] = e^{x}$$
Passo 4 — integro entrambi i membri.
$$e^{-x}\,y = \int e^{x}\,dx = e^{x} + C$$
Passo 5 — esplicito $y$ dividendo per $e^{-x}$.
$$\boxed{y = e^{2x} + C\,e^{x}, \quad C \in \mathbb{R}}$$
Verifica: $y’ = 2e^{2x} + Ce^x$; $\;y’ – y = 2e^{2x} + Ce^x – e^{2x} – Ce^x = e^{2x}$ ✓
Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti
La forma standard è:
$$a\,y” + b\,y’ + c\,y = f(x), \quad a,b,c \in \mathbb{R},\; a \neq 0$$
La soluzione si costruisce in due passi:
-
Soluzione omogenea $y_o$. Si risolve $a\lambda^2 + b\lambda + c = 0$ (equazione caratteristica):
- Due radici reali distinte $\lambda_1 \neq \lambda_2$: $\quad y_o = C_1 e^{\lambda_1 x} + C_2 e^{\lambda_2 x}$
- Radice doppia $\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda$: $\quad y_o = (C_1 + C_2 x)\,e^{\lambda x}$
- Radici complesse coniugate $\lambda = \alpha \pm i\beta$: $\quad y_o = e^{\alpha x}(C_1 \cos\beta x + C_2 \sin\beta x)$
- Soluzione particolare $y_p$. Si cerca con il metodo dei coefficienti indeterminati (se $f(x)$ è un polinomio, un esponenziale o un seno/coseno) oppure con la variazione delle costanti.
La soluzione generale è $y = y_o + y_p$.
Esercizio svolto 3: equazione lineare del secondo ordine omogenea
Risolvere $y” – 5y’ + 6y = 0$
Svolgimento
Passo 1 — scrivo l’equazione caratteristica. Sostituisco $y = e^{\lambda x}$; siccome $y’ = \lambda e^{\lambda x}$ e $y” = \lambda^2 e^{\lambda x}$, il tutto diviso $e^{\lambda x} \neq 0$ dà:
$$\lambda^2 – 5\lambda + 6 = 0$$
Passo 2 — risolvo l’equazione di secondo grado.
$$\Delta = 25 – 24 = 1 > 0 \quad \Rightarrow \quad \lambda_{1,2} = \frac{5 \pm 1}{2}$$
$$\lambda_1 = 3, \quad \lambda_2 = 2$$
Passo 3 — scrivo la soluzione generale. Due radici reali distinte $\Rightarrow$ caso $\Delta > 0$:
$$\boxed{y = C_1\,e^{3x} + C_2\,e^{2x}, \quad C_1, C_2 \in \mathbb{R}}$$
Verifica: $y’ = 3C_1 e^{3x} + 2C_2 e^{2x}$; $\;y” = 9C_1 e^{3x} + 4C_2 e^{2x}$.
Sostituendo: $y” – 5y’ + 6y = (9-15+6)C_1 e^{3x} + (4-10+6)C_2 e^{2x} = 0$ ✓
Applicazioni delle equazioni differenziali
Le equazioni differenziali modellano fenomeni fisici e ingegneristici fondamentali:
- Crescita e decadimento esponenziale: $y’ = ky$ — crescita batterica, decadimento radioattivo, interesse composto continuo. Soluzione: $y = y_0 e^{kt}$.
- Raffreddamento di Newton: $T’ = -k(T – T_{\text{amb}})$ — equazione a variabili separabili. Descrive la temperatura di un corpo che si raffredda nell’ambiente.
- Oscillatore armonico: $y” + \omega^2 y = 0$ — pendolo ideale, molla senza attrito. Soluzione: $y = C_1 \cos\omega t + C_2 \sin\omega t$.
- Circuito RC: $RC\,q’ + q = \mathcal{E}$ — equazione lineare del primo ordine che descrive la carica di un condensatore.
Per lo studio di funzioni che si ottengono come soluzioni di ODE: Studio di funzione — metodo completo ed esercizi svolti →
Domande frequenti sulle equazioni differenziali
Cos’è un’equazione differenziale?
Un’equazione differenziale è un’equazione in cui compare la funzione incognita $y(x)$ e almeno una delle sue derivate ($y’$, $y”$, …). A differenza di un’equazione algebrica (dove si cerca un numero), la soluzione di un’ODE è una funzione.
Come si risolve un’equazione differenziale a variabili separabili?
Si separano i termini in $y$ da quelli in $x$: $\dfrac{dy}{g(y)} = f(x)\,dx$. Poi si integra entrambi i membri separatamente e si esplicita $y$. Se è dato un problema di Cauchy (condizione iniziale), si sostituisce per trovare la costante $C$.
Cos’è il fattore integrante e quando si usa?
Il fattore integrante $\mu(x) = e^{\int p(x)\,dx}$ si usa per risolvere equazioni lineari del primo ordine $y’ + p(x)\,y = q(x)$. Moltiplicando entrambi i membri per $\mu(x)$, il lato sinistro diventa la derivata del prodotto $(\mu\,y)’$, permettendo di integrare direttamente.
Come si risolve un’equazione differenziale lineare del secondo ordine?
Si risolve prima l’equazione omogenea associata ($f(x) = 0$) tramite l’equazione caratteristica $a\lambda^2 + b\lambda + c = 0$, ottenendo la soluzione $y_o$. Se $f(x) \neq 0$, si aggiunge una soluzione particolare $y_p$ trovata con il metodo dei coefficienti indeterminati. La soluzione generale è $y = y_o + y_p$.
Qual è la differenza tra soluzione generale e soluzione particolare?
La soluzione generale contiene costanti arbitrarie ($C$, $C_1$, $C_2$) e rappresenta tutta la famiglia di funzioni che soddisfano l’ODE. La soluzione particolare si ottiene imponendo le condizioni iniziali (problema di Cauchy) e ha costanti determinate.
Esercizi svolti — indice completo
Di seguito trovi gli esercizi sulle equazioni differenziali e gli argomenti strettamente collegati disponibili su MatePratica.
Prerequisiti fondamentali
Argomenti correlati
Argomenti precedenti nel percorso di analisi:
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