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Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=\frac{e^{1-x}}{x^{2}-1} \] 1) Dominio: \[ D=\mathbb{R}-\left\{ \pm1\right\} \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)=\frac{e^{1-\left(-x\right)}}{\left(-x\right)^{2}-1}=\frac{e^{1+x}}{x^{2}-1} \] \[ f\left(-x\right)\neq f\left(x\right) \] \[ f\left(-x\right)\neq-f\left(x\right) \] f(x) non è ne pari ne dispari.
3) Intersezioni con gli assi: \[ \left\{ \begin{array}{c} x=0\\ f\left(x\right)=-e \end{array}\right.\rightarrow\left(0;-e\right)\in f\left(x\right) \] \[ \left\{ \begin{array}{c} y=0\\ e^{\left(1-x\right)}=0 \end{array}\right.\rightarrow\textrm{Ø} \] 4) Segno: \[ f\left(x\right)>0\rightarrow x^{2}-1>0 \] \[ \left\{ \begin{array}{c} f\left(x\right)>0\rightarrow x<-1\:\vee\: x>1\\ f\left(x\right)<0\rightarrow x>-1\:\wedge\: x<1 \end{array}\right. \] 5) Limiti: \[ \lim_{x\rightarrow\pm1}f\left(x\right)=\infty \] x=-1 e x=1 sono quindi asintoti verticali, per la funzione data. \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=0 \] y=0 è quindi un asintoto orizzontale. \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=+\infty \] Inoltre \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{f\left(x\right)}{x}=\infty \] ne consegue che non ci sono asintoti obliqui.
6) Derivate:
Calcoliamo la derivata prima: \[ f’\left(x\right)=\frac{-e^{1-x}\left(x^{2}-1\right)-e^{1-x}\left(2x\right)}{\left(x^{2}-1\right)^{2}} \] \[ f’\left(x\right)=\frac{-e^{1-x}\left(x^{2}+2x-1\right)}{\left(x^{2}-1\right)^{2}} \] Studiamone il segno: \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow x^{2}+2x-1\leq0 \] \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow x\geq-1-\sqrt{2}\:\wedge\: x\leq-1+\sqrt{2} \] Per x compreso tra i due valori -1-rad2 e -1+rad2 la funzione è crescente, per valori esterni sarà quindi decrescente. Otteniamo un minimo per \[ x_{MIN}=-1-\sqrt{2} \] e un massimo per \[ x_{MAX}=-1+\sqrt{2} \]
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Non capisco perché nella derivata prima il primo fattore viene -e in quanto la derivata dell’esponente è 1
La derivata dell’esponente é -1
All’esponete abbiamo 1 – x pertanto la derivata è -1…….
La derivata di e elevato alla 1-x è una funzione composta. Quindi bisogna procedere come descritto per la derivazione di funzioni composte e quindi derivare e alla qualcosa (ad esempio g) rispetto a g (quindi d/dg di e^g) moltiplicato la derivata di quel qualcosa (d/dx di g). Quindi se fai la derivata di e^g viene chiaramente e senza alcun dubbio e^g, mentre se fai la derivata di 1-x viene chiaramente -1 perché la derivata di 1 è 0, la derivata di -x è -1. Moltiplicando questo per e^g ottieni -1*e^g, e cioè -e^g. Avendo posto g=1-x, abbiamo -e^1-x.
Nel calcolo del lim per x–> -1 non ho capito come fa ad uscire inf. e^1-x non verrebbe e^1-(-1)= e^2?
sinceramente parlando, parlare di limite bilatero nei seguenti punti non ha senso.
=> che bisogna calcolarsi i limiti per x -> (+/- 1) da sinistra e destra.
In ogni caso sono asintoti verticali poichè facendolo ottieni degli infiniti discordi
tutto molto chiaro!
chiaro… ma non chiarissimo {citazione per cambio di aggettivo }
Se fai i passaggi bene magari si capisce qualcosa… ma così come fai tu a titolo informativo posso scrivere anche la funzione su google e me la calcola… hai anche sbagliato i segni dei massimo e minimo. Molto utile Grazie :)
ah ma ok anche a me vengono al contrario
non riesco a capire lo studio del segno della derivata prima, perchè f(x) si pone >0 ma poi si mette < nella disequazione?
Si neppure io ho capito. Non ci sono cambiamenti di segno quindi non ho capito perchè si pone x^2+2x-1 <0.
perché c’è -e^(1-x) da considerare al numeratore
Grazie…È tutto molto utile
Tutto ok ma come ottieni i valori della X nell equazione della derivata prima non lo capisco . Grazie Anna
ciao mi chiamo Davide, ho un dubbio per quanto riguarda il limite tendente a +infinito che sinceramente non riesco a capire come possa fare 0 in quanto ho provato a fare i calcoli. a me viene e^+infinito/ infinito^2 -1 ora seguendo la tecnica degli ordini degli infiniti è come se mi trovassi sopra +infinito e sotto un numero e quindi dovrebbe fare +infinito. Scusami ma non riesco a capire mi potresti illuminare?
e^1-(+inf) tende a 0. infinito non è definibile ma sai che è un numero esageratamente grande. Prova a prendere la calcolatrice e scrivere e^(1-(5000000)) per esempio… troverai che il risultato è 0. quindi è come se fosse e^1-inf che tende a 0. (ps. è una porcata quella che ho scritto ma rende l’idea) ; )
Perchè non a la derivata seconda?
la derivata seconda?
Ciao albert non mi sono chiare 2 cose.
1) Come fa la funzione ad esistere tra -1 ed 1 quando queste non sono comprese nel dominio?
2) Perchè il limite per infinito esce 0 e non infinito?
Mi scuso per il disturbo.
Saluti, Antonio
Scusa Albert ho una domanda, nel calcolo dell intersezione perché ponendo y=0 non ti esce nessun punto? Quando arrivi a e^x-1=0 dovresti applicare il logaritmo e ti viene 1-x=1 quindi x=0, ovvero la funzione passa per l origine
mi trovo con tutto .. il problema fondamentale secondo me è il lim x–> – inf .. non mi riesce proprio
albert un chiarimento sullo studio della derivata prima. mi sfugge il motivo per cui non studi il denominatore ma solo il numeratore
Ciao Albert qual è la risoluzione della disequazione -e^(1-x)>0? Non riesco a capire come tu l’ abbia svolta quando c’è da studiare la derivata prima
ciao scusami, non riesco a risolvere il limite per x->-∞ potresti spiegarmi qualche passaggio. Il mio problema è che non me la cavo molto bene con la e di nepero
ciao Albert
quando hai calcolato la derivata prima, perchè hai studiato (x^2+2x-1) minore uguale 0 e non maggiore uguale 0?
Ciao Albert sito molto utile, ben fatto!
Senti non riesco a capire la correlazione tra la crescenza della derivata e il grafico. Non dovrebbe essere crescente tra i valori compresi tra -1-rad2 e -1+rad2? Tra -infinito e -1 mi trovo che è crescente, ma tra -1 e 1 la vedo decrescente e tra 1 e più infinito credo sia decrescente… probabilmente non ho capito bene come si individua la decrescenza/crescenza sul grafico, attendo la tua illuminazione! grazie anticipatamente
Ciao Albert, potresti spiegarmi perchè quando studi il segno della derivata prima ponendola maggiore o uguale a 0 poi poni x^2+2x-1 minore o uguale a zero? Grazie in anticipo
ciao Albert, potresti illustrarmi i passaggi di risoluzione del limite per x che tende a -infinito.
Questo sito è spettacolare! mi sta veramente aiutando molto e spero di superare l’esame di mate :). Però ti vorrei chiedere un favore se è possibile, mi potresti svolgere questo studio di funzione? y=1-rad(x^2 -2x) tutto fratto e^x. Se non è un problema entro martedi perchè ho l’esame :/ .Grazie in anticipo
Grazie! Non svolgo più studi completi qui nei commenti, mi dispiace.
Ciao, è la prima volta che visito il tuo sito e ti ringrazio xk mi sta aiutando davvero tanto :) mi preparo x un esame di matematica che ho la prossima settimana.
Volevo chiederti se gentilmente mi potresti spiegare xk ti vengono come min. -1-radice di 2 e il max -1+radice di due, cioè come hai fatto ad arrivare a quei risultati a me viene come min -2+radice di 8 e come max -2-radice di 8. Eppure mi sembra di non aver sbagliato mentre calcolavo x^2+2x-1
Per favore aiutami! tra l’altro non capisco come hai fatto ad arrivare a radice di 2 forse facendo 2^2 * 2 e quindi porti fuori il due ma non mi viene comunque xk portandolo fuori o mi viene zero oppure 4.
ti sei dimenticata il 2 al denominatore:
(-2+rad8)/2 = -1+rad2
(-2-rad8)/2 = -1-rad2
scusa albert ma se rad(8) = 2rad(2) , -2-2rad(2) /2 non dovrebbe risultare -3rad(2)?
O hai fatto -2+2[-rad(2)] /2 ?
a solo diviso i due membri del numeratore [-2] e [-2rad(2)] per il denominatore
ciao albert non ho capito perché nel calcolo della derivata la “e” la metti negativa non dovrebbe venire (x^2 -1)(e^1-x)-(2x)(e^1-x) il tutto fratto (x^2-1)^2
perchè devi tener conto della derivata dell’esponente, che è -1
ciao Albert!!! non mi è chiaro il limite sia destro che sinistro di -1.
seguendo il consiglio del commento 2 dovrei fare e^ 1-(-1.01)/ (-1.01)^2-1 –> e^2.01/ 0.02 come fa a darmi 0??
infatti non ti da zero, ma infinito…
Qualcuno può aiutarmi????????????”
la f(x))=xe^1/x
il c.e. è: x diverso da zero =per ogni x appart.ad R-(o)
Limiti devo farli a o e + Infinito oppure no??????????????’
è un esponenziale per cui sempre crescente xchè e>o?
Il grafico è sempre lo stesso?
Il dominio è tutto R tranne x=0, quindi i limiti devi farli per x che tende a +-inf e 0^(+-).
No, non è detto che sia sempre crescente, devi fare la derivata e studiarne il segno. Di consegunza il grafico non è lo stesso di e^x
Comincio col dire che è un sito a dir poco fantastico che aiuta moltissimo per l’esame di Analisi soprattutto grazie alle vostre risposte esaustive e veloci.
Vorrei chiedere come mai nello STUDIO DEL SEGNO si pone il denominatore anche <0. Grazie in anticipo.
Grazie!
Lo studio del segno serve per stabilire il segno della funzione al variare di x. Io affermo che questa funzione è positiva quando x<-1 e x>1, mentre è negativa tra -1 e 1
Trovato errore, grazie ugualmente! Ottimo sito!
bene grazie ;)
Con approssimazione mi risulta minimo (-2,4; 1,3) ed il massimo (0,4; 2,6), ma non va bene quest’ultimo… Cosa sbaglio?!?
Valori di massimo e minimo sul grafico?
Come trovo valore di -e per punto intersezione?
come mai i limiti per x che tende a -1meno e 1più danno +infinto e tu ha disegnato la funzione nella parte negativa??Grazie!!
in realtà nei limiti ho scritto che il risultato è infinito (senza specificare il segno). Per disegnare la funzione ho poi dedotto l’andamento in base allo studio del segno della funzione
ciao albert, gentilmente potresti spiegarmi il procedimento fatto nello studio del segno
Il segno della funzione coincide col segno del denominatore perchè il numeratore è un esponenziale e quindi sempre positivo
ciao albert scusami ma quando vai a mettere il punto A (0;-e) che ti sei trovato nell intersezione cn gli assi come lo inserisci sul grafico? -e che valore ha ?
-2,718…
ciao! posso chiederti perchè lim. che va a + inf. viene 0?!
grazie in anticipo!
perchè al numeratore e^(-inf)=0, al denominatore hai inf, quindi 0/inf=0
Ciao albert! scusami ma io non ho capito bene il procedimento dell’intersezione con gli assi, potresti spiegarmelo sinteticamente? Grazie mille!
x=0 -> y=e/(-1)=-e
y=0 quando l’esponenziale al numeratore è uguale a zero, quindi mai perchè un esponenziale è sempre positivo
ciao albert! sapresti risolvermi questo studio di funzione? …. e elevato alla radice di valore assoluto di x piu’ 1 grazie in anticipo
Ciao Enza, mi dispiace, ma non risolvo più studi completi nei commenti. Se hai qualche domanda in particolare chiedi pure
ciao albert mi spieghi com’è che la derivata di e^1-x è sempre e^1-x ? grazie
f(x)=e^(1-x) è una funzione composta: prima derivo la funzione esterna e^(1-x) ottenendo e^(1-x) (perchè la derivata di e^x è e^x) e moltiplico quest’ultima per la derivata della funzione interna (l’esponente 1-x, la cui derivata è 1. Quindi:
f'(x) = -e^(1-x)
ciao alberto…scusami se ti disturbo…ma nel determinare i min e i max…non dovrebbe essere x< -1-rad2 v x > -1+rad2?
No è giusto così: -1-rad2a et x<b”
Ciao,
con x–>+inf il numeratore va a zero perchè e^(-inf)–>0, di conseguenza [0/inf=0]
ciao albert,potresti illustrarmi i passaggi del limite che tende a +∞,non mi torna.
grazie!!
Ciao Anonimo,
in un normale studio di funzione la derivata seconda andrebbe sempre studiata, per essere sicuri del grafico che si va a disegnare.
In questo esercizio garantisco per il grafico, ma la derivata seconda la lascio al lettore :)
Perché non esegui la derivata seconda? Non riesco a capire il perché, mi puoi aiutare?? Grazie!!
Ciao,
con x–>+inf il numeratore va a zero perchè e^(-inf)–>0, di conseguenza [0/inf=0]
con x–>-inf abbiamo una forma indeterminata inf/inf che risolvi agevolmente con de l’hopital (2 volte) , trovando che f–>+inf
Si, y=0 è asintoto
Ciao, vorrei sapere perché un lim con x che tende a + infinito va a 0 e con x che tende a meno infinito va a infinito.
Il limite uguale a zero tende ad y=0?? non tocca? è asintotico?
Ciao Anonimo,
perchè moltiplico per -1, ri-posto il commento che ho fatto poco sopra:
“nella derivata i termini e^(1-x) e (x^2 -1)^2 sono sempre positivi, quindi il segno della derivata coincide col segno di -(x^2 +2x +1), quindi:
f’>0 –> -(x^2 +2x +1)>0
moltiplico a dx e sx per -1:
f’>0 –> x^2 +2x +1<0
risolvo:
f’>0 –> x compreso tra -1-rad2 e -1+rad2
in questo intervallo la derivata è positiva e la funzione è quindi crescente, per valori esterni la derivata è invece negativa e la funzione decrescente. “
ma quando si studia il segno della derivata prma, nn la si pone maggiore uguale di zero?? perchè poi le soluzioni le trovi con Minore uguale? avendo quindi valori interni?
Giusto giusto!grazie ancora!
Perchè devi moltiplicare la derivata della funzione esterna e^(1-x) (che è sempre e^(1-x) ) per la derivata della funzione interna (l’esponente), che è -1. Ottieni e^(1-x) * (-1) = -e^(1-x) . E’ la regola di derivazione delle funzioni composte…
Scusa,un’altra cosa…perchè la derivata di e elevato alla 1-x è MENO e alla 1-x?
Ok!grazie mille,sei stato gentilissimo
Ciao Ale,
perchè ogni funzione del tipo e^(f(x)) è strettamente positiva. In sostanza se tu elevi la “e” ad un qualsiasi numero (positivo, negativo, o uguale a zero che sia…) ti risulta sempre un numero positivo (vedi il grafico di e^x e te ne rendi conto)
Ciao Albert!perchè quando fai l’intersezione con gli assi e elevato alla x-1 =0 non esiste?Grazie!
Ciao Anonimo,
nella derivata i termini e^(1-x) e (x^2 -1)^2 sono sempre positivi, quindi il segno della derivata coincide col segno di -(x^2 +2x +1), quindi:
f’>0 –> -(x^2 +2x +1)>0
moltiplico a dx e sx per -1:
f’>0 –> x^2 +2x +1<0
risolvo:
f’>0 –> x compreso tra -1-rad2 e -1+rad2
in questo intervallo la derivata è positiva e la funzione è quindi crescente, per valori esterni la derivata è invece negativa e la funzione decrescente.
Ciao non riesco a capire il crescere e decrescere della funzione.. Perché nella derivata prima consideri minore di zero x^2x-1?
Ciao Anonimo,
ho raccolto – e^(-x) al numeratore, e poi ho messo il meno davanti alla frazione.
albert potresti ripetere il passaggio 6 spiegando meglio la derivata prima, grazie
scusa albert….ma nello studio della derivata prima perchè hai messo un meno all’inizio??
Fai tutto bene, devi solo andare avanti coi passaggi:
(-2+rad( 4+4))/2 e (-2-rad(4+4))/2
(-2+rad8)/2 e (-2-rad8)/2
Visto che rad8 = 2rad2
(-2+rad8)/2 e (-2-rad8)/2
(-2+2rad2)/2 e (-2-2rad2)/2
-1+rad2 e -1-rad2
tt risolto… sono un duro ahhaahha grazie lo stesso..
errori di distrazione..
puoi dirmi allora dove sbaglio?? :(
allora la formula risolutiva è (-b+/-rad (b^2-4ac))/2a giusto??
quindi:
(-2+rad( 4+4))/2 e (-2-rad(4+4))/2
grazie! :(
No, è giusto così.
Devi aver sbagliato ad applicare la formula risolutiva dell’equazione associata di secondo grado…
Anche perchè ti rendi conto da solo che se sostituisci le tue soluzioni al posto della x:
x^2 +2x -1 NON si annulla
scusami albert ma nella derivata quando vai a svolgere x^2+2x-1 non viene x1= -3 e x2=1??
grazie :)))
Sono lusingato Paola, grazie! Fammi sapere come va l’esame allora…in bocca al lupo!
Albert….sei la mia salvezza!!!!! ADORO QUESTO SITO! il migliore in assoluto! Grazieeeeee
-1meno ti conviene immaginarlo come -1,01, che se lo elevi al quadrato diventa +1più. Poi guardando il denominatore abbiamo:
+1più -1= 0+
-1più ti conviene immaginarlo come -0,99, che se lo elevi al quadrato diventa +1meno. Poi guardando il denominatore abbiamo:
+1meno -1= 0-
caro alberto mi dispiace per te, ma con questo suggerimento che hai dato circa il limite destro e sinistro in un punto li fai solo ” scimunire” Basta che gli amici vanno a vedere il segno della funzione a destra e a sinistra del punto . Per esempio se a destra di 1 la funzione è negativa il risultato del limite è meno infinito ahahahahahhahah come sono bravo come sono bravooooo aaahhahahhahhahahahah Ciao a tt
non è detto che ci sia sempre un asintono verticale quindi il limite lo devi fare sempre e comunque
Scusami tanto Albert, ma ho l’esame tra 3 giorni e sono disperata….non riesco a capire (ex N°1) gli asintoti verticali per -1meno e -1più. Perchè per -1meno sotto viene zero+ e per -1più viene 0-???…..i limiti destro e sinistro sono il mio tormento!
ciao Albert, posso chiederti perchè nello svolgimento della derivata prima prendi in considerazione solo x^2+2x-1 e non anche e^1-x?