Studio di funzioni – Esercizio 1

 

Scarica tutti i 101 studi in formato PDF e sostieni il progetto Matepratica con soli 3,99€: clicca qui per effettuare il pagamento, riceverai subito un link via mail dove poter scaricare uno Zip con tutti gli studi pubblicati sul sito in versione PDF. Per ulteriori info scrivi a [email protected]


Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=\frac{e^{1-x}}{x^{2}-1} \] 1) Dominio: \[ D=\mathbb{R}-\left\{ \pm1\right\} \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)=\frac{e^{1-\left(-x\right)}}{\left(-x\right)^{2}-1}=\frac{e^{1+x}}{x^{2}-1} \] \[ f\left(-x\right)\neq f\left(x\right) \] \[ f\left(-x\right)\neq-f\left(x\right) \] f(x) non è ne pari ne dispari.

3) Intersezioni con gli assi: \[ \left\{ \begin{array}{c} x=0\\ f\left(x\right)=-e \end{array}\right.\rightarrow\left(0;-e\right)\in f\left(x\right) \] \[ \left\{ \begin{array}{c} y=0\\ e^{\left(1-x\right)}=0 \end{array}\right.\rightarrow\textrm{Ø} \] 4) Segno: \[ f\left(x\right)>0\rightarrow x^{2}-1>0 \] \[ \left\{ \begin{array}{c} f\left(x\right)>0\rightarrow x<-1\:\vee\: x>1\\ f\left(x\right)<0\rightarrow x>-1\:\wedge\: x<1 \end{array}\right. \] 5) Limiti: \[ \lim_{x\rightarrow\pm1}f\left(x\right)=\infty \] x=-1 e x=1 sono quindi asintoti verticali, per la funzione data. \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=0 \] y=0 è quindi un asintoto orizzontale. \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=+\infty \] Inoltre \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{f\left(x\right)}{x}=\infty \] ne consegue che non ci sono asintoti obliqui.

6) Derivate:

Calcoliamo la derivata prima: \[ f’\left(x\right)=\frac{-e^{1-x}\left(x^{2}-1\right)-e^{1-x}\left(2x\right)}{\left(x^{2}-1\right)^{2}} \] \[ f’\left(x\right)=\frac{-e^{1-x}\left(x^{2}+2x-1\right)}{\left(x^{2}-1\right)^{2}} \] Studiamone il segno: \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow x^{2}+2x-1\leq0 \] \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow x\geq-1-\sqrt{2}\:\wedge\: x\leq-1+\sqrt{2} \] Per x compreso tra i due valori -1-rad2 e -1+rad2 la funzione è crescente, per valori esterni sarà quindi decrescente. Otteniamo un minimo per \[ x_{MIN}=-1-\sqrt{2} \] e un massimo per \[ x_{MAX}=-1+\sqrt{2} \]

 

 

Scarica tutti i 101 studi in formato PDF e sostieni il progetto Matepratica con soli 3,99€: clicca qui per effettuare il pagamento, riceverai subito un link via mail dove poter scaricare uno Zip con tutti gli studi pubblicati sul sito in versione PDF. Per ulteriori info scrivi a [email protected]

93 thoughts on “Studio di funzioni – Esercizio 1

    1. sinceramente parlando, parlare di limite bilatero nei seguenti punti non ha senso.
      => che bisogna calcolarsi i limiti per x -> (+/- 1) da sinistra e destra.
      In ogni caso sono asintoti verticali poichè facendolo ottieni degli infiniti discordi

  1. Se fai i passaggi bene magari si capisce qualcosa… ma così come fai tu a titolo informativo posso scrivere anche la funzione su google e me la calcola… hai anche sbagliato i segni dei massimo e minimo. Molto utile Grazie :)

  2. non riesco a capire lo studio del segno della derivata prima, perchè f(x) si pone >0 ma poi si mette < nella disequazione?

    1. Si neppure io ho capito. Non ci sono cambiamenti di segno quindi non ho capito perchè si pone x^2+2x-1 <0.

    1. Tutto ok ma come ottieni i valori della X nell equazione della derivata prima non lo capisco . Grazie Anna

  3. ciao mi chiamo Davide, ho un dubbio per quanto riguarda il limite tendente a +infinito che sinceramente non riesco a capire come possa fare 0 in quanto ho provato a fare i calcoli. a me viene e^+infinito/ infinito^2 -1 ora seguendo la tecnica degli ordini degli infiniti è come se mi trovassi sopra +infinito e sotto un numero e quindi dovrebbe fare +infinito. Scusami ma non riesco a capire mi potresti illuminare?

    1. e^1-(+inf) tende a 0. infinito non è definibile ma sai che è un numero esageratamente grande. Prova a prendere la calcolatrice e scrivere e^(1-(5000000)) per esempio… troverai che il risultato è 0. quindi è come se fosse e^1-inf che tende a 0. (ps. è una porcata quella che ho scritto ma rende l’idea) ; )

  4. Ciao albert non mi sono chiare 2 cose.
    1) Come fa la funzione ad esistere tra -1 ed 1 quando queste non sono comprese nel dominio?
    2) Perchè il limite per infinito esce 0 e non infinito?
    Mi scuso per il disturbo.
    Saluti, Antonio

  5. Scusa Albert ho una domanda, nel calcolo dell intersezione perché ponendo y=0 non ti esce nessun punto? Quando arrivi a e^x-1=0 dovresti applicare il logaritmo e ti viene 1-x=1 quindi x=0, ovvero la funzione passa per l origine

  6. ciao scusami, non riesco a risolvere il limite per x->-∞ potresti spiegarmi qualche passaggio. Il mio problema è che non me la cavo molto bene con la e di nepero

  7. Ciao Albert sito molto utile, ben fatto!
    Senti non riesco a capire la correlazione tra la crescenza della derivata e il grafico. Non dovrebbe essere crescente tra i valori compresi tra -1-rad2 e -1+rad2? Tra -infinito e -1 mi trovo che è crescente, ma tra -1 e 1 la vedo decrescente e tra 1 e più infinito credo sia decrescente… probabilmente non ho capito bene come si individua la decrescenza/crescenza sul grafico, attendo la tua illuminazione! grazie anticipatamente

  8. Questo sito è spettacolare! mi sta veramente aiutando molto e spero di superare l’esame di mate :). Però ti vorrei chiedere un favore se è possibile, mi potresti svolgere questo studio di funzione? y=1-rad(x^2 -2x) tutto fratto e^x. Se non è un problema entro martedi perchè ho l’esame :/ .Grazie in anticipo

  9. Ciao, è la prima volta che visito il tuo sito e ti ringrazio xk mi sta aiutando davvero tanto :) mi preparo x un esame di matematica che ho la prossima settimana.
    Volevo chiederti se gentilmente mi potresti spiegare xk ti vengono come min. -1-radice di 2 e il max -1+radice di due, cioè come hai fatto ad arrivare a quei risultati a me viene come min -2+radice di 8 e come max -2-radice di 8. Eppure mi sembra di non aver sbagliato mentre calcolavo x^2+2x-1
    Per favore aiutami! tra l’altro non capisco come hai fatto ad arrivare a radice di 2 forse facendo 2^2 * 2 e quindi porti fuori il due ma non mi viene comunque xk portandolo fuori o mi viene zero oppure 4.

  10. ciao Albert!!! non mi è chiaro il limite sia destro che sinistro di -1.
    seguendo il consiglio del commento 2 dovrei fare e^ 1-(-1.01)/ (-1.01)^2-1 –> e^2.01/ 0.02 come fa a darmi 0??

  11. Qualcuno può aiutarmi????????????”
    la f(x))=xe^1/x
    il c.e. è: x diverso da zero =per ogni x appart.ad R-(o)
    Limiti devo farli a o e + Infinito oppure no??????????????’
    è un esponenziale per cui sempre crescente xchè e>o?
    Il grafico è sempre lo stesso?

    1. Il dominio è tutto R tranne x=0, quindi i limiti devi farli per x che tende a +-inf e 0^(+-).

      No, non è detto che sia sempre crescente, devi fare la derivata e studiarne il segno. Di consegunza il grafico non è lo stesso di e^x

  12. Comincio col dire che è un sito a dir poco fantastico che aiuta moltissimo per l’esame di Analisi soprattutto grazie alle vostre risposte esaustive e veloci.
    Vorrei chiedere come mai nello STUDIO DEL SEGNO si pone il denominatore anche <0. Grazie in anticipo.

    1. Grazie!

      Lo studio del segno serve per stabilire il segno della funzione al variare di x. Io affermo che questa funzione è positiva quando x<-1 e x>1, mentre è negativa tra -1 e 1

    1. in realtà nei limiti ho scritto che il risultato è infinito (senza specificare il segno). Per disegnare la funzione ho poi dedotto l’andamento in base allo studio del segno della funzione

    1. Il segno della funzione coincide col segno del denominatore perchè il numeratore è un esponenziale e quindi sempre positivo

  13. ciao albert scusami ma quando vai a mettere il punto A (0;-e) che ti sei trovato nell intersezione cn gli assi come lo inserisci sul grafico? -e che valore ha ?

  14. Ciao albert! scusami ma io non ho capito bene il procedimento dell’intersezione con gli assi, potresti spiegarmelo sinteticamente? Grazie mille!

    1. x=0 -> y=e/(-1)=-e
      y=0 quando l’esponenziale al numeratore è uguale a zero, quindi mai perchè un esponenziale è sempre positivo

    1. Ciao Enza, mi dispiace, ma non risolvo più studi completi nei commenti. Se hai qualche domanda in particolare chiedi pure

    1. f(x)=e^(1-x) è una funzione composta: prima derivo la funzione esterna e^(1-x) ottenendo e^(1-x) (perchè la derivata di e^x è e^x) e moltiplico quest’ultima per la derivata della funzione interna (l’esponente 1-x, la cui derivata è 1. Quindi:
      f'(x) = -e^(1-x)

  15. ciao alberto…scusami se ti disturbo…ma nel determinare i min e i max…non dovrebbe essere x< -1-rad2 v x > -1+rad2?

  16. Ciao Anonimo,

    in un normale studio di funzione la derivata seconda andrebbe sempre studiata, per essere sicuri del grafico che si va a disegnare.

    In questo esercizio garantisco per il grafico, ma la derivata seconda la lascio al lettore :)

  17. Ciao,

    con x–>+inf il numeratore va a zero perchè e^(-inf)–>0, di conseguenza [0/inf=0]

    con x–>-inf abbiamo una forma indeterminata inf/inf che risolvi agevolmente con de l’hopital (2 volte) , trovando che f–>+inf

    Si, y=0 è asintoto

  18. Ciao, vorrei sapere perché un lim con x che tende a + infinito va a 0 e con x che tende a meno infinito va a infinito.

    Il limite uguale a zero tende ad y=0?? non tocca? è asintotico?

  19. Ciao Anonimo,
    perchè moltiplico per -1, ri-posto il commento che ho fatto poco sopra:

    “nella derivata i termini e^(1-x) e (x^2 -1)^2 sono sempre positivi, quindi il segno della derivata coincide col segno di -(x^2 +2x +1), quindi:

    f’>0 –> -(x^2 +2x +1)>0
    moltiplico a dx e sx per -1:
    f’>0 –> x^2 +2x +1<0
    risolvo:
    f’>0 –> x compreso tra -1-rad2 e -1+rad2

    in questo intervallo la derivata è positiva e la funzione è quindi crescente, per valori esterni la derivata è invece negativa e la funzione decrescente. “

  20. ma quando si studia il segno della derivata prma, nn la si pone maggiore uguale di zero?? perchè poi le soluzioni le trovi con Minore uguale? avendo quindi valori interni?

  21. Perchè devi moltiplicare la derivata della funzione esterna e^(1-x) (che è sempre e^(1-x) ) per la derivata della funzione interna (l’esponente), che è -1. Ottieni e^(1-x) * (-1) = -e^(1-x) . E’ la regola di derivazione delle funzioni composte…

  22. Ciao Ale,

    perchè ogni funzione del tipo e^(f(x)) è strettamente positiva. In sostanza se tu elevi la “e” ad un qualsiasi numero (positivo, negativo, o uguale a zero che sia…) ti risulta sempre un numero positivo (vedi il grafico di e^x e te ne rendi conto)

  23. Ciao Anonimo,
    nella derivata i termini e^(1-x) e (x^2 -1)^2 sono sempre positivi, quindi il segno della derivata coincide col segno di -(x^2 +2x +1), quindi:

    f’>0 –> -(x^2 +2x +1)>0
    moltiplico a dx e sx per -1:
    f’>0 –> x^2 +2x +1<0
    risolvo:
    f’>0 –> x compreso tra -1-rad2 e -1+rad2

    in questo intervallo la derivata è positiva e la funzione è quindi crescente, per valori esterni la derivata è invece negativa e la funzione decrescente.

  24. Ciao non riesco a capire il crescere e decrescere della funzione.. Perché nella derivata prima consideri minore di zero x^2x-1?

  25. Fai tutto bene, devi solo andare avanti coi passaggi:

    (-2+rad( 4+4))/2 e (-2-rad(4+4))/2
    (-2+rad8)/2 e (-2-rad8)/2

    Visto che rad8 = 2rad2

    (-2+rad8)/2 e (-2-rad8)/2
    (-2+2rad2)/2 e (-2-2rad2)/2
    -1+rad2 e -1-rad2

  26. puoi dirmi allora dove sbaglio?? :(
    allora la formula risolutiva è (-b+/-rad (b^2-4ac))/2a giusto??
    quindi:

    (-2+rad( 4+4))/2 e (-2-rad(4+4))/2

    grazie! :(

  27. No, è giusto così.
    Devi aver sbagliato ad applicare la formula risolutiva dell’equazione associata di secondo grado…
    Anche perchè ti rendi conto da solo che se sostituisci le tue soluzioni al posto della x:
    x^2 +2x -1 NON si annulla

  28. -1meno ti conviene immaginarlo come -1,01, che se lo elevi al quadrato diventa +1più. Poi guardando il denominatore abbiamo:
    +1più -1= 0+

    -1più ti conviene immaginarlo come -0,99, che se lo elevi al quadrato diventa +1meno. Poi guardando il denominatore abbiamo:
    +1meno -1= 0-

    1. caro alberto mi dispiace per te, ma con questo suggerimento che hai dato circa il limite destro e sinistro in un punto li fai solo ” scimunire” Basta che gli amici vanno a vedere il segno della funzione a destra e a sinistra del punto . Per esempio se a destra di 1 la funzione è negativa il risultato del limite è meno infinito ahahahahahhahah come sono bravo come sono bravooooo aaahhahahhahhahahahah Ciao a tt

  29. Scusami tanto Albert, ma ho l’esame tra 3 giorni e sono disperata….non riesco a capire (ex N°1) gli asintoti verticali per -1meno e -1più. Perchè per -1meno sotto viene zero+ e per -1più viene 0-???…..i limiti destro e sinistro sono il mio tormento!

    1. ciao Albert, posso chiederti perchè nello svolgimento della derivata prima prendi in considerazione solo x^2+2x-1 e non anche e^1-x?

Lascia un commento

Il tuo indirizzo email non sarà pubblicato. I campi obbligatori sono contrassegnati *