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Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=\left(x+1\right)\ln\left(x+1\right)-2 \] 1) Dominio: \[ D=\left(-1;+\infty\right) \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)=\left(-x+1\right)\ln\left(-x+1\right)-2 \] \[ f\left(-x\right)\neq f\left(x\right) \] \[ f\left(-x\right)\neq-f\left(x\right) \] f(x) non è ne pari ne dispari.
3) Intersezioni con gli assi: \[ \left\{ \begin{array}{c} x=0\\ f\left(x\right)=-2 \end{array}\right.\rightarrow\left(0;-2\right)\in f\left(x\right) \] 4) Segno: \[ \left[omesso\right] \] 5) Limiti: \[ \lim_{x\rightarrow-1^{+}}f\left(x\right)=\left[0\cdot\infty\right] \] \[ \lim_{x\rightarrow-1^{+}}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow-1^{+}}\left[\frac{\ln\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)^{-1}}-2\right]=\left[\frac{\infty}{\infty}\right] \] Con De L’Hopital otteniamo: \[ \lim_{x\rightarrow-1^{+}}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow-1^{+}}\left[\frac{\left(x+1\right)^{-1}}{-\left(x+1\right)^{-2}}-2\right] \] \[ \lim_{x\rightarrow-1^{+}}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow-1^{+}}\left(-x-1-2\right)=-2 \] \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=+\infty \] Inoltre \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f\left(x\right)}{x}=+\infty \] ne consegue che non ci sono asintoti obliqui.
6) Derivate:
Calcoliamo la derivata prima: \[ f’\left(x\right)=\ln\left(x+1\right)+\left(x+1\right)\cdot\frac{1}{x+1} \] \[ f’\left(x\right)=\ln\left(x+1\right)+1 \] Studiamone il segno: \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow\ln\left(x+1\right)+1\geq0 \] \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow\ln\left(x+1\right)\geq-1 \] \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow x+1\geq e^{-1} \] \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow x\geq\frac{1}{e}-1 \] Per x compreso tra i due valori x=-1 e x=1/e-1 la funzione è decrescente, per valori superiori a x=1/e-1 è invece crescente. Otteniamo di conseguenza un minimo per \[ x_{MIN}=\frac{1}{e}-1 \]
Derivata seconda: \[ f”\left(x\right)=\frac{1}{x+1} \] \[ f”\left(x\right)\geq0\rightarrow x>-1 \] \[ f”\left(x\right)\geq0\;\forall x\in D \] Ne consegue che f(x) è sempre convessa.
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Come mai lo studio del segno è stato omesso?
Ciao
Mi sapreste dire come vi troviate infinito per 0 nel calcolo dell’asintoto?
specificatamente il limite di x-> -1^- di (x+1)ln(x+1)-2
La cosa che mi lascia perplesso è che, quando si va ad applicare De L’Hospital, il -2 al numeratore non venga proprio considerato, come se non ci fosse: ossia, non viene derivato. Però poi risulta determinante nei conti finali. Se fosse stato derivato, sarebbe dovuto sparire. E’ normale? Può suggerirmi qualche ulteriore esempio/lettura in merito? Grazie.
Siccome dell’ Hopistal si utilizza per le forme indeterminate, es. (0/0), in questo caso il -2 non è un fattore che va a “creare” questa situazione di indeterminazione. Il -2 non ha incognite quindi quando tu andrai a studiare il limite X=-1, non dovrai appunto sostituirla a causa della mancanza dell’incognita e di conseguenza non ne sarà necessaria la derivazione. Mentre al contrario per quanto riguarda il log e la parentesi dovrai applicare dell’ Hospital siccome entrambe propongono risultati diversi tra loro.
Scusa xchè non hai ricavato le coordinate del punto in cui f(x) tocca asse x?
Salve , per favore potreste spiegarmi perchè lim. x–> -1+ ln(x+1) = inf. e non -inf.? grazie ” infinite”
lim. x–> -1+ ln(x+1) = -inf è corretto
La scrittura inf senza segno non specifica il comportamento della funzione.
Al tendere a 0+ la funzione logaritmica con base maggiore di 1, la funzione tende a meno infinito.
Buongiorno, mi interesserebbe vedere i passaggi dell’interruzione con asse x, ponrmdo y=0, vedere come viene risolto e non omesso. Grazie
Ciao! Davvero non esiste una soluzione di tipo algebrico per l’equazione f(x)=0 ???
scusate potreste spiegarmi come si fa il dominio?grazie
i logaritmi devono avere Base Maggiore di 0 e Diversa da 1
e argomento Maggiore di 0. Essendo “e” la base di ln rimane solo da efffettuare lo studio dell’argomento. basta porre (x+1)>0 ed eseguire i calcoli
potresti spiegarmi i passaggi riguardo l’applicazione del teorema di De Hopital?? grazie :)
lo studio del segno per questa funzione come esce?? grazie in anticipo!
Perché hai omesso il segno?
vedi commento 16 ;)
Ciao scusa,ma il dominio non dovrebbe essere x>0. ?
Tutto l’argomento del logaritmo dev’essere positivo: x+1>0 –> x>-1
Ciao, scusa la domanda idiota: rifacendo da sola l’esercizio ho tentato di trovare anche l’intersezione con l’asse delle x e delle y.
Ovviamente con x=0 mi porta y=-2 (come a te) mentre con y=0 mi porta che non esiste soluzione.
Ma allora la mia domanda è: come fa il grafico ad intersecare l’asse delle x ma non si riesce a calcolarne il punto?
Grazie mille :)
la soluzione c’è, solo che è difficile trovarne il valore…tutto qui ;)
ciao scusa,nel limite che tende a -1.come fa a diventare una forma indeterminata del tipo inf/inf ?? perchè al numeratore:log di 0 è inf ma sotto viene 0 quindi in teoria non si può applicare de l’hospital..come si fa? Grazie
perchè come vedi (x-1) lo scrivo come 1/(x-1)^(-1)
Ciao, scusa il disturbo, ma perchè quando fai il limite che tende a -1, non sostituisci semplicemente alla funzione di partenza invece di mettere (x+1) al denominatore?
Perchè sostituendo (primo passaggio) ho una forma indeterminata del tipo zero per infinito
Ciao, scusa ma perché il grafico della tua funzione “parte” da (-1;-2)?
Perchè il limite di f(x) per x che tende a -1 da destra (che è un confine del dominio) va a -2
Ciao Albert facendo f(x)/x a me viene 0…puoi spiegarmi xkè a te viene +infinito? grz anticipatamente
lim f(x)/x lo puoi scrivere così:
lim (x+1)/x * ln(x+1) +2/x =
lim 1 * ln(x+1) +0 =
lim ln(x+1) = ln(+inf)= +inf
Ciao Albert, potresti farmi lo studio di questa funzione???
f(x)= x^3-log(x-1/x+1)
Mi spiace ma non svolgo studi di funzione completi, se hai qualche domanda in particolare chiedi pure…
scusi potrebbe scrivere i passaggi di come ha ottenuto (x+1)^-1\(x+1)^-2 nella derivata del limite( non mi quadra il numeratore)
Derivare il numeratore significa derivare ln(x+1), quindi ottengo: 1/(x+1)=(x+1)^(-1)
è abbastanza complicata come cosa, dovresti porre
f(x) > 0
ovvero
(x+1)ln(x+1)-2 > 0
xln(x+1) +ln(x+1) -2 > 0
xln(x+1) > 2 – ln(x+1)
A questo punto dovresti studiare e disegnare sullo stesso grafico sia la funzione al primo membro sia quella al secondo, e vedere quando la prima è maggiore della seconda.
Vedi qui:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=xln%28x%2B1%29+%3E+2+-+ln%28x%2B1%29
Noti che hanno un solo punto di intersezione (per tentativi x=1,35 circa) e la disequazione è vera (e la tua funzione f(x) positiva) quando x>1,35
Scusa scusa scusa sono ancorai io a rompere le scatole, vero che mi spiegheresti anche come trovare il segno della funzione? :)
No non trascuro il denominatore. Scrivendo la funzione come
f(x)=xln(x+1)+ln(x+1)-2
dividendola per x ottengo:
f(x)/x = ln(x+1) +(ln(x+1))/x -2/x
Per x–>+inf
f(x)/x = +inf +0 -0 = +inf
ciao,perchè calcolando l asintoto verticale dopo aver applicato hopital ad un certo punto trascuri il denominatore?
Invece di scrivere tutta la funzione fratto x, ho scritto il suo nome fratto x, ovvero f(x)/x che è la stessa cosa…
ciao Albert.. io non ho capito xkè hai utilizzato due modi diversi di scrivere la funzione x calcolare l’asintoto verticale e quello obliquo.. x calcolare quello obliquo non potevi scrivere la funzione (x+1)ln(x+1)-2/ x e risolverlo come limite notevole??? grazie
Si va per tentativi ponendo f(x)=0, e trovi che la curva interseca l’asse x nel punto x=2,34 circa. Poi, dopo aver studiato le derivate deduci che f(x)>0 quando x>2,34
Ja peró la positivitá la potevi mettere ci siamo ubriacati un sacco e alla fine non ci siamo trovati XD se hai tempo please mettila
Ciao Anonimo,
-2 non fa parte del numeratore: sta fuori dalla frazione…
come mai nel limite in cui si applica il teorema di de l’hopital il -2 viene tenuto fuori? non fa parte del numeratore e quindi non andrebbe anch’esso derivato?
Se vai ad applicare la derivata di un rapporto viene
(0*(x+1)-1*1)/(x+1)^2=
=-1/(x+1)^2
ciao albert ma nel primo limite quando vai a fare la derivata di 1/(x+1) come mai viene -1/(x+1)^2??
se vai ad applicare la derivata di un rapporto non viene (-x-1)/(x+1)^2???
grazieee!! sito fantasticoooo!! :)
Ciao Giacomo,
qui non l’ho cercata. Dovresti porre f(x)=0, e otterresti:
log(x+1)=2/(x+1)
Disegnando il grafico di log(x+1) e di 2/(x+1) sullo stesso piano cartesiano, vedresti che hanno un solo punto di intersezione (quello cercato) per x=1,2 circa.
Ecco il grafico:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=log%28x%2B1%29%3D2%2F%28x%2B1%29
scusi ma l intersezione con l asse x come fai a determinarlo?
grazie!! :(
Ciao,
la funzione può essere scritta così:
f(x)=xln(x+1)+ln(x+1)-2
se la dividi per x:
f(x)/x=ln(x+1)+(1/x)ln(x+1)-2/x
Il limite per x che tende a infinito di quest’ultima espressione è +infinito+0-0=+infinito
NB: mentre il primo e l’ultimo sono limiti immediati, il secondo termine (1/x)ln(x+1) si può risolvere facilmente con de l’hopital o per confronto tra infiniti.
Buono studio!
non ho capito perchè riscrivere la funzione così: x ln (x+1)?
scusate come si arriva a più infinito,per l’asintoto obliquo?