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Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=\frac{\ln\left(2x\right)}{x} \] 1) Dominio: \[ D=\left(0;+\infty\right) \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)=\frac{\ln\left(-2x\right)}{-x}=-\frac{\ln\left(-2x\right)}{x} \] \[ f\left(-x\right)\neq f\left(x\right) \] \[ f\left(-x\right)\neq-f\left(x\right) \] f(x) non è ne pari ne dispari.
3) Intersezioni con gli assi: \[ \left\{ \begin{array}{c} f\left(x\right)=0\\ x=\frac{1}{2} \end{array}\right.\rightarrow\left(\frac{1}{2};0\right)\in f\left(x\right) \] 4) Segno: \[ N>0\rightarrow\ln\left(2x\right)>0\rightarrow x>\frac{1}{2} \] \[ D>0\rightarrow x>0 \] \[ \left\{ \begin{array}{c} f\left(x\right)>0\rightarrow x>\frac{1}{2}\\ f\left(x\right)<0 \rightarrow x>0\:\wedge\: x<\frac{1}{2} \end{array}\right. \] 5) Limiti: \[ \lim_{x\rightarrow0^{+}}f\left(x\right)=-\infty \] x=0 è un asintoto verticale per f(x). \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=0^{+} \] y=0 è un asintoto orizzontale per f(x).
6) Derivate:
Calcoliamo la derivata prima: \[ f’\left(x\right)=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln\left(2x\right)}{x^{2}} \] \[ f’\left(x\right)=\frac{1-\ln\left(2x\right)}{x^{2}} \] Studiamone il segno: \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow1-\ln\left(2x\right)\geq0 \] \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow\ln\left(2x\right)\leq1 \] \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow x\leq\frac{e}{2} \] Per x compreso tra i due valori x=0 e x=e/2 la funzione è crescente, per valori superiori a x=e/2 è invece decrescente. Otteniamo di conseguenza un massimo per \[ x_{MAX}=\frac{e}{2} \]
Derivata seconda: \[ f”\left(x\right)=\frac{-\frac{1}{x}\cdot x^{2}-\left[1-\ln\left(2x\right)\right]\cdot2x}{x^{4}} \] \[ f”\left(x\right)=\frac{x\left[2\ln\left(2x\right)-3\right]}{x^{4}} \] \[ F_{1}>0\rightarrow x>0 \] \[ F_{2}\geq0\rightarrow2\ln\left(2x\right)-3>0\rightarrow x\geq\frac{1}{2}e^{\frac{3}{2}} \] \[ \left\{ \begin{array}{c} f”\left(x\right)\geq0\rightarrow x\geq\frac{1}{2}e^{\frac{3}{2}}\\ f”\left(x\right)<0 \rightarrow x>0\:\wedge\: x<\frac{1}{2}e^{\frac{3}{2}} \end{array}\right. \] La funzione è quindi concava tra x=0 e x=1/2*e^(3/2), convessa per x maggiori di 1/2*e^(3/2). Abbiamo un punto di flesso per \[ x_{F}=\frac{1}{2}e^{\frac{3}{2}} \]
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non riesco a capire come svolgi la derivata seconda :-(
Ciao albert non capisco nella derivata prima perché ti venga 1-ln(2x) al posto di 2-ln(2x)
secondo me si è fatto di acido prima di fare la derivata seconda
Scusa, come mai ln(2x)>0 diventa x>1/2? Grazie
Perché 0 equivale a scrivere ln 1, quindi la disequazione è diventata ln 2x > ln 1.
In questo modo ha potuto “rimuovere” ln da entrambe le parti (non è una vera semplificazione, ma funziona praticamente come tale) per farla diventare 2x > 1. Da qui il risultato x > 1/2.
Ciao
Scusa non riesco a capire come nello studio del segno si passi da ln2x> 0 a x> 1/2
perche ln2x diventa
2x>e^0
poi diveenta: 2x>1 quindi x uguale a 1/2
Ciao Albert ! Volevo chiederti per il segno si pone ln(2x) >=0 quindi come soluzione non dovrebbe venire x>=0 anziche di x=1/2?
Grazie in anticipo
Non riesco proprio a spiegarmi il dominio e il segno (e sono le prime due cose che ho provato a fare. Mi piacciono molto di più gli appunti scannerizzati dove spieghi passo per passo quello che fai.
Questo commento è stato eliminato dall’autore.
Scusami il limite per cui tu trovi l’asintoto verticale y=0 è sbagliato,
se leggo bene è: lim x->+oo di f(x) e sono più che certo che faccia +oo e non 0 come hai scritto
mi dispiace contraddirti: i limiti e gli asintoti sono giusti così come pubblicati
salve, premetto che sono un principiante in materia, mi potresti spiegare il passaggio 2 , nel modo piu chiaro possibile, ti ringrazio in anticipo :)
scusa , e il passaggio 3 che non ho capito, grazie mille !
y=0 -> La funzione si annulla quando si annulla il numeratore, ovvero quando ln(2x)=0 -> 2x=1 -> x=1/2
Scusami albert ma il logaritmo nello studio del dominio non richiederebbe l’argomento maggiore di 0?
Infatti: 2x>0 –> x>0 (che è il dominio)
Questo commento è stato eliminato dall’autore.
ciao, ma perchè non calcoliamo l’ intersezione con l’ asse y??
perchè x=0 non appartiene al dominio
ciao scusa.. ma al secondo limite -inf/0+ non è una forma indeterminata??Grazie
No: infinito fratto zero fa infinito ;)
scusami visto che hai trovato l’asintoto orizzontale con y=0 perchè il grafico della funzione attraversa l’asintoto? O.o
Se una funzione ha un asintoto orizzontale, questo non significa che non possa intersecarlo una o più volte… Un esempio emblematico è f(x)=(senx)/x che interseca il suo asintoto y=0 infinite volte!
sei un mito albert.. se passo l’esame di matematica ti faccio una donazione al sito!! grazie
ahah grande! saresti il primo :D
In bocca al lupo!
ciao
scusa ma il dominio non dovrebbe essere [0,+∞) ?
in questo modo non ho asintoti verticali.
grazie
No, perchè per x=0 si annulla il numeratore (e oltretutto si annulla anche l’argomento del logaritmo), per cui in quel punto la f non esiste
ciao Albert mi spieghi il passaggio del secondo limite dv la x–>+infinito? a me viene 2..e poi ln2=0,7
Per x->+inf ln(2x)->+inf così come il denominatore. Quindi hai una forma indeterminata inf/inf che si risolve agilmente con de l’hopital, oppure col confronto tra infiniti (vince il denominatore e limite va a zero).
Buonasera
volevo fare una domanda. Ho questa funzione: f(x)=1-xln(x)
Sto provando a calcolare le intersezioni però x=0 lo escludo perchè = non fa parte del dominio, mentre per y=0 non riesco a trovarlo.
Quali sono i passaggi da effettuare per calcolare il punto di intersezione? Nelle soluzioni me lo riporta.
Grazie mille,
Angelo
Ciao Angelo,
eh devi andare per tentativi:
ti viene lnx=1/x, disegni ln(x) e 1/x sullo stesso grafico e vedi che si intersecano in un unico punto (tra x=1 e x=2):
http://www.wolframalpha.com/input/?i=lnx%3D1%2Fx
Facendo qualche prova viene circa 1,75.
Perfetto ho capito. Ma in teoria se dovessi trovare una cosa simile in una traccia di esame, il calcolo di questa intersezione lo salto o devo obbligatoriamente farlo?
Grazie ancora della risposta,
Angelo
Se fai questo passaggio poi riesci a disegnare il grafico in modo più accurato. L’obbligatorietà o meno e l’eventuale punteggio assegnato dipende dal prof, ma non credo possa valere più di tanto…
ciao, non riesco a capire perchè nel calcolo delle intersezioni , la x=1/2.
f(x)=0 –> (ln(2x))/x=0
e una frazione si annulla quando si annulla il numeratore, perciò:
ln(2x)=0
ln(2x)=ln(1)
2x=1 –> x=1/2
La funzione ln(2x) per x che tende a 0+ tende a meno infinito, perchè 2x tende a 0+, e ln(0+)= – inf.
x che è il denominatore tende a 0+.
Quindi: [-inf/0+]= -inf
ciao ma il limite per x che tende a 0+ non dovrebbe dare + infinito?
2ln(2x)-3>0
2ln(2x)>3
ln(2x)>3/2
2x>e^(3/2)
x>1/2e^(3/2)
ciao,
scusami non riesco a capire il passaggio, nella derivata seconda da 2ln(2x)-3>0 che ti da X>1/2^e^3/2
grazie
Il numeratore è ln(2x), quindi la sua derivata è
1/(2x) * 2 = 1/x
Ti sei dimenticato il 2, che è la derivata dell’argomento (funzione interna 2x)
Scusa ma la derivata prima non dovrebbe venire (1/2x)X(x)- (ln2x) tutto / x^2 ? perché a lei viene 1/x?
Ho capito!!!! Grazie mille
Ciao Anonimo,
– calcolo la derivata prima
– la pongo maggiore o uguale a zero: trovo che f’=0 quando x=e/2, e che f’ è positiva nell’intervallo (0,e/2). Di conseguenza f’ è negativa per x>e/2.
– Concludo che f è crescente nell’intervallo (0,e/2) e decrescente per x>e/2. Visto che in x=e/2 –> f’=0 trovo quindi che f ha un max quando x=e/2.
Ciao Albert.
Gentilmente potresti spiegarmi come fai a trovare il max? Ti premetto che sn alle prime armi,ma non l ho capito. Grazie
Ps. Ottimo sito..mi sta aiutando molto
Ciao Anonimo,
ho usato il teorema di De L’Hopital…
Scusa Albert mi spiegheresti gentilmente il 2^limite???quello di x–> +oo !!!cm mai hai messo 1/2x*2???grazie mille..
Ok, evidenzio i passaggi intermedi:
ln(2x) < 1
ln(2x) < ln(e), perchè ln(e)=1
2x < e
x < e/2
Visto che il ln(2x) esiste solo per x>0 (che è anche il dominio), otteniamo quindi:
0 < x < e/2
non si poteva lasciare 1 e quindi fare x<1/2 ?
scusa ma nn riesco a capire cm si fa a passare da:
ln(2x)<1 a e/2 non so se mi sono spiegato bene
grazie comunque
sì..giusto…
grazie mille per la disponibilità.
Si certo, però dopo, nel calcolo del segno, dovresti tenere conto anche del denominatore (x^3 non è sempre positivo come x^4). Non allunghi l’esercizio, ma nemmeno lo accorci.
potrei farti un’altra domanda?
Alla fine,si potrebbe semplificare la x del numeratore con la x^4 del denominatore?
Ciao,
il numeratore, semplificando x^2 con x, viene:
-x-2x(1-ln(2x))
raccogliamo la x:
x(-1-2(1-ln(2x)))
moltiplichiamo dentro parentesi:
x(-1-2+2ln(2x))
ed ecco il risultato:
x(2ln(2x) -3)
Buono studio!
salve,mi potreste spiegare meglio come si passa dal primo al secondo(ed ultimo) passaggio,nella derivata seconda??? grazie