Scarica tutti i 101 studi in formato PDF e sostieni il progetto Matepratica con soli 3,99€: clicca qui per effettuare il pagamento, riceverai subito un link via mail dove poter scaricare uno Zip con tutti gli studi pubblicati sul sito in versione PDF. Per ulteriori info scrivi a info@matepratica.it
Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=x^{2}e^{3x+5} \] 1) Dominio: \[ D=\mathbb{R} \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)=x^{2}e^{-3x+5} \] \[ f\left(-x\right)\neq f\left(x\right) \] \[ f\left(-x\right)\neq-f\left(x\right) \] f(x) non è ne pari ne dispari.
3) Intersezioni con gli assi: \[ \left\{ \begin{array}{c} x=0\\ y=0 \end{array}\right.\rightarrow\left(0;0\right)\in f\left(x\right) \] 4) Segno: \[ f\left(x\right)\geq0\:\forall x\in D \] 5) Limiti: \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\left[\infty\cdot0\right] \] \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x^{2}}{e^{-3x-5}}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right] \] Risolviamolo con De L’Hopital: \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{2x}{-3e^{-3x-5}}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right] \] \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{2}{9e^{-3x-5}}=0 \] y=0 è un asintoto orizzontale per la funzione data. \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=+\infty \] \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f\left(x\right)}{x}=+\infty \] Non ci sono asintoti obliqui.
6) Derivate:
Calcoliamo la derivata prima: \[ f’\left(x\right)=2xe^{3x+5}+3x^{2}e^{3x+5} \] \[ f’\left(x\right)=e^{3x+5}\left(3x^{2}+2x\right) \] Studiamone il segno: \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow3x^{2}+2x\geq0 \] \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow x\leq-\frac{2}{3}\:\vee\: x\geq0 \] Otteniamo quindi un minimo per \[ x_{MIN}=0 \] e un massimo per \[ x_{MAX}=-\frac{2}{3} \]
Derivata seconda: \[ f”\left(x\right)=3e^{3x+5}\left(3x^{2}+2x\right)+e^{3x+5}\left(6x+2\right) \] \[ f”\left(x\right)=e^{3x+5}\left(9x^{2}+12x+2\right) \] \[ f”\left(x\right)\geq0\rightarrow9x^{2}+12x+2\geq0 \] Otteniamo due punti di flesso: \[ x_{F1}=\frac{-2-\sqrt{2}}{3} \] \[ x_{F2}=\frac{-2+\sqrt{2}}{3} \]
Scarica tutti i 101 studi in formato PDF e sostieni il progetto Matepratica con soli 3,99€: clicca qui per effettuare il pagamento, riceverai subito un link via mail dove poter scaricare uno Zip con tutti gli studi pubblicati sul sito in versione PDF. Per ulteriori info scrivi a info@matepratica.it
scusa non ho capito nella derivata seconda quando calcoli il discriminante come ti fa ad uscire 2 sotto rad?? perchè ho provato più volte e mi esce 18 oppure 72….potresti spiegarmi per cortesia come hai fatto?? grazie mille…
Posso rispondere io, magari aiuterà qualcun altro questo commento. 72 = 9*8 = 3^2 * 2^3 e quindi per le proprietà delle radici possiamo portare al di fuori 3^2 e 2^2 –> 3*2*sqrt(2)
scusa , pero io non ho capito come abbiamo trovato il 12 nella derivata seconda!
ciao, complimenti davvero per questo sito! vorrei sapere qual è la regola per trovare la derivata di e^nx? e per e^nx+m è uguale?
è uguale maggiore o minore…devi vedere se sono concordi o discordi…cioe se il segno della x di grado maggiore è concorde o discorde con il maggiore o minore che hai messo( di solito si mette maggiore)
la x di grado maggiore, per esempio positivo, si dice concorde con il segno maggiore…allora avrai valori esterni e viceversa
ciao questo sito è stupendo ed ho imparato molte cose…quindi molte grazie .però ho un grande dubbio se nelle disequazioni pongo >0 allora le soluzioni saranno per valori esterni, mentre se pongo la disequazione <0 per valori interni.volevo sapere se il mio ragionamente è giusto….
scusami Albert, a me la derivata prima risulta e^(3x+5) (x^2 +2x+3) cosa sbaglio??
ti ringrazio in anticipo
Questo commento è stato eliminato dall’autore.
scusa ma nello studio dei limiti se io il limite lo scrivessi come
(e^(3x+5))/(x^(-2))
non andrebbe bene lo stesso??? infatti, essendo e di ordine maggiore otterrei Inf come risultato….fammi sapere!!
grazie e complimenti per il sito!
Si è ok anche il tuo ragionamento. Grazie!
Ciao Albert,
ascolta non ho capito il passaggio per ottenere i punti di max e di minimo…
La funzione sale (derivata prima positiva) prima di -2/3, scende tra -2/3 e 0 (derivata prima negativa), e sale per x>0: quindi, visto che in x=0 e x=-2/3 la derivata si annulla, allora x=0 è un minimo e x=-2/3 un massimo.
ciao volevo sapere come mai nel passaggio del segno viene per ogni x appartenente ad R. Io ho pensato per l’insieme dei valori che è solo R+?? Grazie in anticipo
La funzione è un prodotto di due fattori: il primo (x^2) è un quadrato e quindi sempre positivo, il secondo è un esponenziale e quindi sempre positivo. Di conseguenza il prodotto tra due fattori positivi è sempre positivo.
Ciao Albert, scusa la domanda, ma non ho capito nel 5 passaggio come sei arrivato a trasfomare la moltiplicazione di x^2 per l’e in una fratta..
Ho usato il principio:
a^b = 1/(a^(-b))
Per esempio 2^2=1/(2^(-2))=1/(1/4)=1*4=4
quindi ho portato al denominatore l’esponenziale cambiando segno all’esponente
ciao albert mi puoi far vedere come si calcola la ymax e come viene graficamente il punto massimo? nn riesco a capire come va a finire li su il punto massimo
y(max)=(-2/3)^2 e^(3(-2/3)+5)=
=4/9 e^3 che è circa 8,8…poi tieni conto che nel grafico rappresentato x e y non è detto che abbiano la stessa scala..
potreste calcolarmi la derivata prima e seconda di questa funzione
18*(1-e^-x/18)
grazie
La tua funzione la puoi scrivere come
f(x)=18-18e^(-x/18)
quindi:
f'(x)= -18 * e^(-x/18) * (-1/18)
f'(x)= e^(-x/18)
f”(x)= e^(-x/18) * (-1/18)
f”(x)= -1/18 e^(-x/18)
è spuria…scusa sono leso =_o
L’importante è aver risolto ;)
ma e’ maggiore o minore di 2/3?
minore
Ma se studiamo il segno della f’ >=o…come mai hai messo <=-2/3 ?????
Ripassa le disequazioni di secondo grado ;)
salve non ho capito una cosa, quando studia il segno della derivata prima pone x^2+2x maggiore uguale a 0 e ottiene x maggiore uguale a 2/3,
per ottenere f′(x)≥0→x≤−23∨x≥0 vuol dire che c’è anche un x≥0 ma da dove lo ottiene?
ho visto che hai gia risposto ad una domanda simile!
Esatto, al commento 4 ;)
Ciao ti volevo chiedere essendo il limite di x che tende a + infinito uguale a + infinito e quello di x che tende a meno infinito uguale a 0 non si poteva fare a meno di calcolare gli asintoti abliqui?
grazie
Grazie a te, buono studio!
Grazie mille Albert. Sito fantastico e molto ben fatto.. Complimenti.
Ciao Danny,
se pongo y=0 ottengo:
x^2 e^(3x+5) = 0
La funzione è uguale a zero quando almeno uno dei due fattori che la compongono è uguale a zero (regola di annullamento del prodotto) quindi:
x^2=0 –> x=0 quindi f(x) passa per O(0;0)
e^(3x+5)=0 –> qui non trovo altre soluzioni perchè una funzione esponenziale non è mai uguale a zero
Ciao Albert, ho un dubbio per quanto riguarda l’intersezione della funzione con l’asse x. Mi spieghi quali sono i calcoli che portano ad y=0? Grazie in anticipo.
Perchè, se ad esempio al funzione è xe^(x-1) e la x del massimo è 6… la y viene:
6*e^(6-1) = 6e^5
Cioè se i conti vengono all’esponente è normale che la base rimanga quella (“e” in questo caso), e anche all’esponente viene un numero (non più una funzione di x).
Grazie mille per i chiarimenti,mi sono accorto delle sviste!
Un’ultima cosa:quando ho e elevato qualcosa devo sostituire il suo valore numerico? Perché in questi studi di funzione capita spesso che la y di un massimo sia,ad esempio,e^5.
Ciao,
– Perchè la derivata del numeratore è 2, e la derivata del denominatore è -3*e^(-3x-5) *(-3) = 9e^(-3x-5)
– L’asintoto orizzontale c’è per x che tende a MENO infinito, mentre per x che tende a +infinito dobbiamo cercare un eventuale asintoto obliquo
– Al posto della x nella funzione iniziale sostituisci la x del massimo (o del minimo), e fai i calcoli
Buongiorno,non riesco a capire alcune cose:
-nel secondo passaggio dello svolgimento del limite con De L’Hopital perché viene 2/9 ecc…?
-come mai cerca eventuali asintoti obliqui se vi è un asintoto orizzontale?
-come faccio a trovare i valori delle y dei massimi e dei minimi quando ho e elevato qualcosa?
Stesso problema che riscontro con i punti di flesso..
Grazie anticipatamente per la risposta..
Ciao,
non viene inf/e^(-inf),
al denominatore c’è e^(-3x-5), se al posto di x metti -inf ottieni e^(-(-inf))=e^(+inf)=+inf
Quindi hai una forma indeterminata inf/inf che si risolve o con del’hopital (applicato 2 volte), oppure più semplicemente col confronto tra infiniti: e^inf è un infinito “più grande” di x^2, quindi “vince” e porta il limite a zero.
scusami albert ma nel limite che va a – 00 xchè viene 0+??
non dovrebbe venire oo/( e(^-00)) cioè 00???
grazie e scusa il disturbo.