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Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=\frac{\ln x}{3\ln x-1} \] 1) Dominio: \[ \left\{ \begin{array}{c} x>0\\ 3\ln x-1\neq0\rightarrow x\neq e^{\frac{1}{3}} \end{array}\right. \] \[ D=\left(0;\sqrt[3]{e}\right)\:\cup\:\left(\sqrt[3]{e};+\infty\right) \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)=\frac{\ln\left(-x\right)}{3\ln\left(-x\right)-1} \] \[ f\left(-x\right)\neq f\left(x\right) \] \[ f\left(-x\right)\neq-f\left(x\right) \] f(x) non è ne pari ne dispari.
3) Intersezioni con gli assi: \[ \left\{ \begin{array}{c} f\left(x\right)=0\\ x=1 \end{array}\right.\rightarrow\left(1;0\right)\in f\left(x\right) \] 4) Segno: \[ N>0\rightarrow\ln x>0\rightarrow x>1 \] \[ D>0\rightarrow3\ln x-1>0\rightarrow x>e^{\frac{1}{3}} \] \[ \left\{ \begin{array}{c} f\left(x\right)>0\rightarrow\left(0;1\right)\:\cup\:\left(\sqrt[3]{e};+\infty\right)\\ f\left(x\right)<0\rightarrow\left(1;\sqrt[3]{e}\right) \end{array}\right. \] 5) Limiti: \[ \lim_{x\rightarrow0^{+}}f\left(x\right)=\frac{1}{3} \] \[ \lim_{x\rightarrow\sqrt[3]{e}}f\left(x\right)=\infty \] x=e^(1/3) è un asintoto verticale per f(x). \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=\frac{1}{3} \] y=1/3 è un asintoto orizzontale per f(x).
6) Derivate:
Calcoliamo la derivata prima: \[ f’\left(x\right)=\frac{\frac{1}{x}\left(3\ln x-1\right)-\ln x\cdot\frac{3}{x}}{\left(3\ln x-1\right)^{2}} \] \[ f’\left(x\right)=\frac{\frac{1}{x}\left(3\ln x-3\ln x-1\right)}{\left(3\ln x-1\right)^{2}} \] \[ f’\left(x\right)=\frac{-1}{x\left(3\ln x-1\right)^{2}} \] Studiamone il segno: \[ f’\left(x\right)<0\:\forall x\in D \] La funzione è sempre decrescente.
Derivata seconda: \[ f”\left(x\right)=\frac{\left(3\ln x-1\right)^{2}+2x\left(3\ln x-1\right)\cdot\frac{3}{x}}{x^{2}\left(3\ln x-1\right)^{4}} \] \[ f”\left(x\right)=\frac{\left(3\ln x-1\right)\left(3\ln x+5\right)}{x^{2}\left(3\ln x-1\right)^{4}} \] \[ F_{1}>0\rightarrow x>e^{\frac{1}{3}} \] \[ F_{2}\geq0\rightarrow x\geq e^{-\frac{5}{3}} \] La funzione è quindi convessa tra x=0 e x=e^(-5/3), e oltre x=e^(1/3). La funzione è invece concava tra x=e^(-5/3) e x=e^(1/3). Abbiamo un punto di flesso per \[ x_{F}=e^{-\frac{5}{3}} \]
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È sbagliato il limite per x che tende a e^(1/3) perché non fa infinito ma fa zero
Ciao Albert, ma come mai l’asintoto orizzontale viene 1/3??
e i flessi dove sono rappresentati?
Ma scusa, con le mie scarse conoscenze, forse mi sbaglio, ma la derivata seconda mi sembra sbagliata.
La derivata seconda e’ derivata della derivata prima.
derivata di -1 e’ 0 per cio’ (f1(x)*g(x)=0) quindi si dovrebbe fare (-f(x)*g1(x)) = -2x(3ln(x)-1)
e alla fine mi viene:
-2x(3ln(x)-1) -2x
—————– = —————–
(3ln(x)-1)alla4 (3ln(x)-1)alla3
Forse mi sbaglio… comunque non capisco come la deriva seconda possa esserti venuta quella
ps: infatti dal suo calcolo della derivata seconda risulta un punto di flesso quando in realtà non esiste nessun flesso. Il grafico infatti è corretto. Se riesegue il calcolo correttamente della derivata seconda si accorgerà che la funzione è convessa prima di e^1/3 e concava dopo e^1/3. Non c’è flesso perché e^1/3 non appartiene al dominio.
Saluti,
Claudio
Mi scusi Albert, ma credo che la derivata seconda sia sbagliata. La derivata di -1 è 0 che, moltiplicato per g(x) fa sempre 0. Perciò al numeratore va solo ed esclusivamente +2x(3lnx−1)⋅3x lasciando così come l’ha impostato lei il denominatore.
Grazie per il lavoro che fa.
Saluti
Chiedo scusa non riesco a capire come mai il limite per x che tende a più infinito e che tende a zero esca 1/3. Ho provato con Hopital ma non riesco a risolverlo. Qualcuno puo aiutarmi? grazie in anticipo.
Nella Derivata seconda non mi è chiaro il 2x.. io la x la metto davanti al(3ln….)^2.. come fa ad essere dopo il meno?
Perché la funzione non passa per il punto (1;0) ?
Ma per lo studio del segno, perchè una volta la funzione si pone >0 e una volta <0?
Il limite per x che tende ad e elevato 1/3 di f(x) fa infinito. E sono daccordo!! Ma come dimostrare che va a +infinito da destra e a -infinito da sinistra?
Basta sfruttare l’indicazione data dal segno della funzione: positiva a destra -> +inf , e negativa a sinistra -> -inf
Al dominio lnx>0 viene posto come x>0
Nello studio del segno lnx>o viene posto come x>1 .. dov’è la differenza?
Il logaritmo esiste (non si parla di positività lnx>0) quando il suo argomento è positivo, quindi lnx esiste quando x>0
Mentre lnx>0 quando x>1, vedi il grafico del logaritmo e te ne rendi conto.
scusa Albert, io non capisco il limite per x che tende a 0+! :( perchè fa 1/3 ?? O.o
Raccogli il log al denominatore:
lim lnx/(lnx(3-1/lnx)) =
lim 1/(3-1/lnx) = 1/(3-0) = 1/3
comunque la derivata seconda io credo che sia sbagliata infatti non ha senso il flesso “e^-5/3”
il punto in cui cambia la concavità è il punto “e^1/3” che però non è un flesso perchè è un punto che non appartiene al dominio quindi di discontinuità di sec.specie)
Il flesso per x=e^(-5/3) è circa x=0.2 e non si apprezza dal grafico (ma c’è e ha senso, perchè risulta dai conti). Per x=e^(1/3) c’è un cambio di concavità che, come dici tu, non è un flesso (infatti non l’ho segnalato come tale nello svolgimento).
3 ln x <> 1
se elevi entrambi i membri alla base “e” ottieni l’argomento del logaritmo al cubo nel primo membro( al cubo perchè il 3 che moltiplica per una proprietà dei log si può scrivere come esponente dell’argomento)al secondo membro “e”
poi metti entrambi i membri sotto radice cubica ! semplifichi e ottieni x <> radice cubica di e ( che sarebbe e^1/3 ) :-)
Ciao senti io non capisco come da 3 ln x-1 arrivi a e^1/3… gentilmente mi faresti i passaggi? scusami x il disturbo :)
ciao Albert, mi potresti spiegare meglio come svolgere la derivata seconda perchè non sono riuscito a capire bene alcuni passaggi nonostante abbia letto il commento 10.Grazie!
Quale passaggio non ti è chiaro?
ciao Albert,potresti spiegarmi come hai fatto la derivata di 3lnx-1,cioè come fa a venire 3/x.a me viene 3/x-1.
Ricordati che la derivata di -1 è 0. Penso sia questo il tuo errore…
– Primi due limiti:
per x che tende a zero da destra la funzione logaritmo tende a meno infinito. Questo genera nel limite una forma indeterminata infinito su infinito. Raccolgo allora lnx al denominatore:
lnx/(lnx(3-1/lnx))
semplifico
1/(3-1/lnx)=
1/(3-1/-inf)=
1/(3-0)= 1/3
per x che tende a radice terza di e il denominatore tende a zero e il numeratore tende a 1/3 quindi:
(1/3)/0= inf
– Il segno della derivata determina la monotonia della funzione. Quando la derivata è positiva la funzione è crescente, quando la derivata è negativa la funzione è decrescente. Quando al derivata si annulla la funzione può avere un punto di massimo, minimo, o flesso a tangente orizzontale. Determino quindi esattamente di che punto si tratta valutando il segno della derivata (e quindi la monotonia della funzione) prima e dopo del suddetto punto.
Albert mi spiegheresti come capire i massimi e i minimi,sono la mia pecora nera.
grazie!
ciao albert,mi illustreresti i primi due limiti.
grazie!!
Si era una dimenticanza: ora ho aggiunto anche l’x^2, che comunque è sempre positivo nel dominio.
ciao, ma nel denominatore della derivata seconda non dovrebbe esserci anche x^2???
Ciao Maic,
semplifico la x del “2x” con la x del “3/x”, poi raccolgo (3lnx -1) e ottengo:
(3lnx -1)(3lnx -1 + 2*3) =
= (3lnx -1)(3lnx +5)
salve potrebbe spiegarmi come fa ad ottenere (3lnx-1)(3lnx+5) nel numeratore della derivata seconda? grazie
No, perchè il denominatore è un quadrato: è sempre positivo…
svolgendo i calcoli dopo aver imposto la derivata maggiore di 0; al denominatore non risulterebbe x> e^(1/3)?? grazie mille
Perchè la sua derivata prima, per x>0 (ovvero il dominio della funzione), è sempre negativa.
perche la funzione è sempre decrescente dal punto di vista analitico?
Ciao!
Lo studio della derivata prima c’è, è appena sopra il grafico: f'(x)<0 per ogni x del dominio (x>0), quindi la funzione e decrescente.
Lo studio della derivata seconda non c’è, te lo faccio velocemente qui sotto:
Facendo i conti la f”(x) viene una frazione con numeratore uguale a
(3lnx -1)(3lnx +5)
e denominatore uguale a x^2*(3lnx -1)^4
Il denominatore, per x>0 (dominio), è sempre positivo.
Il numeratore, e quindi tutta f”(x), per x>0 (dominio), è positivo per x>e^(1/3).
Quindi per x>e^(1/3) la funzione è convessa, per 0<x<e^(1/3) la funzione è concava.
Buono studio!
maaaa lo studio della derivata prima e la derivata seconda?xD grazie mille cmq
Ciao!
Andando a sostituire x–>e^(1/3) alla funzione abbiamo che:
– al numeratore abbiamo ln(e^(1/3)) che per definizione è l’esponente da dare ad e (base) per ottenere e^(1/3) (argomento): quindi è 1/3.
– al denominatore lo stesso ragionamento ci porta ad avere 3*(1/3)-1=1-1=0.
Ora, nel linguaggio dei limiti, un numero (in questo caso 1/3) diviso 0 (o meglio un infinitesimo) dà come risultato infinito.
Buono studio!
salve!
mi potreste spiegare come si arriva ad infinito,per l’asintoto verticale?