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Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=\frac{x}{\sqrt{x-2}} \] 1) Dominio: \[ D=\left(2;+\infty\right) \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)=\frac{-x}{\sqrt{-x-2}} \] \[ f\left(-x\right)\neq f\left(x\right) \] \[ f\left(-x\right)\neq-f\left(x\right) \] f(x) non è ne pari ne dispari.
3) Intersezioni con gli assi: \[ \left\{ \begin{array}{c} f\left(x\right)=0\\ x=0 \end{array}\right.\rightarrow x=0\notin D \] 4) Segno: \[ f\left(x\right)>0\:\forall x\in D \] 5) Limiti: \[ \lim_{x\rightarrow2^{+}}f\left(x\right)=+\infty \] x=2 è asintoto verticale per f(x). \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=+\infty \] \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f\left(x\right)}{x}=0 \] Non ci sono asintoti obliqui.
6) Derivate:
Calcoliamo la derivata prima: \[ f’\left(x\right)=\left[\sqrt{x-2}-\frac{x}{2\sqrt{x-2}}\right]\frac{1}{x-2} \] \[ f’\left(x\right)=\frac{2\left(x-2\right)-x}{2\left(x-2\right)\sqrt{x-2}} \] \[ f’\left(x\right)=\frac{x-4}{2\left(x-2\right)^{\frac{3}{2}}} \] Studiamone il segno: \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow x\geq4 \] Otteniamo quindi un minimo per \[ x_{MIN}=4 \] Derivata seconda: \[ f”\left(x\right)=\frac{2\left(x-2\right)^{\frac{3}{2}}-\left(x-4\right)\cdot2\cdot\frac{3}{2}\left(x-2\right)^{\frac{1}{2}}}{4\left(x-2\right)^{3}} \] \[ f”\left(x\right)=\frac{\sqrt{x-2}\left(8-x\right)}{4\left(x-2\right)^{3}} \] \[ f”\left(x\right)\geq0\rightarrow8-x\geq0 \] \[ f”\left(x\right)\geq0\rightarrow x\leq8 \] Otteniamo un punto di flesso: \[ x_{F}=8 \]
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Per me è incomprensibile capire come il numeratore della derivata seconda venga semplificato così nel secondo passaggio. Gentilmente qualcuno potrebbe scrivere i vari passaggi per arrivare fin lì?
Semplicemente si studiano singolarmente e, visto che x-2 sotto radice è già specificato nel dominio, (e quindi siamo già nel dominio in cui x è sicuramente maggiore di 2, con conseguente radice diversa da zero) si considera 8 – X
Ciao, grazie per il sito
Non capisco in perché f(x)/x il risultato è 0. Non sarebbe inf/inf?
Grazie in anticipo
Ciao, quando scrivi f(x)/x per la valutazione dell’asintoto obliquo, in effetti stai scrivendo:
x/sqrt(x-2) * 1/x [dove sqrt sta per “radice quadrata”].
Quindi semplifichi le due x… e ti rimane: 1/sqrt(x-2)
E il limite, per x->+infinito di 1/sqrt(x-2) fa zero.
Prima semplifichi, quindi da 1/Inf -> 0
Sostituisci 4 alla funzione che sarà uguale a 2 radice di 2 quindi (4,2radice di due ) sarà il tuo minimo…. fai la stessa cosa per 8 e trovi precisamente dove si trova il flesso
Ciao, non riesco a capire i passaggi della derivata prima. Puoi spiegarmeli? grazie in anticipo
potete spiegarmi per favore il secondo passaggio della derivata seconda?
raccogli (x-1)^1/2 a fattor comune, poi vai avanti con i calcoli al denominatore (moltiplicazioni, sottrazioni e/o somme).
scusa intendo al numeratore!
al denminatore semplifichi la potenza di 3/2 alla seconda, ergo 3.
salve, non riesco a calcolare l’asintoto obliquo. Potete spiegarmi come fa a venire 0? grazie
un volta che hai posto il limite a più infinito, risultando lo stesso più infinito non puoi far altro che porre f(x)/x a più infinito: infinito sotto radice ti da infinito (denominatore in questo caso!), dunque avendo ad un numero positivo in rapporto ad infinito da zero! (vedi algebra dei limiti).
Ciao Albert! tra due giorni abbiamo un esame e ci stiamo esercitando ma in questo studio di funzione non riusciamo a capire perché il limite per x->infinito dà infinito ,poiché noi abbiamo usato de l’hopital e viene zero
La matematica non sarà mai il mio mestiere
A chi lo dici
Ho difficoltà nella derivata^2.
Potresti spiegarmela?
Ciao! Io non ho capito il secondo passaggio della derivata seconda
ciao, mi associo a tutti i precedenti complimenti e vorrei sapere perchè non semplificare il 2 al N/D nella derivata prima. Grazie!
come fai a disegnare il min e il flesso visto che abbiamo solo valori 4 e 8 …
Questo commento è stato eliminato dall’autore.
ciao, non riesco a capire perchè il lim x–>inf nell’ asintoto orizz. faccia 0… se escludo i valori minori, mi viene 1/rad 1 ed il risultato è 1…dove sbaglio? grazie e scusa, complimenti x il sito, è ottimo!
Ciao, complimenti per il sito, una domandina.
Non riesco a capire il segno della derivata seconda, come si fa ad arrivare a 8-x>=0 ?
Salve, grazie per il lavoro svolto e la disponibilità.
non riesco proprio a capire l’ultimo passaggio della 1 derivata. Io faccio così:2(x-2)-x/2rad(x-2)*(x-2) semplifico x-2 con x-2 e mi rimane 2-x/2rad(x-2). Dov’è che sbaglio?
non puoi semplificare x-2 perchè hai una differenza al numeratore (e non un prodotto)
Ciao come svolgi la derivata seconda? o meglio non ho ben capito i calcoli per raccogliere
Al numeratore ho raccolto (x-2)^(1/2) che è uguale a rad(x-2)
Ciao, non ho capito come svolgi il segno in questo eserizio..
Il denominatore è una radice quadrata (quindi sempre positivo nel dominio), quindi il segno della funzione coincide col segno del numeratore
ciao albert,
nello studio della prima derivata, nell ultimo passaggio al denominatore hai tolto la radice e l’hai messa come esponente di 2(x-2)^3/2 potresti spiegarmi il metodo che hai usato?
ricorda che rad(x-2)=(x-2)^(1/2)
e poi
(x-2)(x-2)^(1/2)= (x-2)^(3/2)
ciao, scuasami qual’è la formula che mi dice questo? per essere più chiara come arrivo a togliere la radice ed elevare a 3/2?
perchè quando fai il segno della derivata prima poni solo il nominatore >0? e il denominatore??
Perchè il denominatore è sempre positivo nel dominio
perchè la derivata prima è positiva solo quando il numeratore è positivo?
Perchè nel dominio (ovvero per x>2) il denominatore è sempre positivo
Ciao Albert….complimenti x il sito…volevo kiederti come mai nell’ultimo passaggio del lim per x—>+infinito, la x del numeratore sparisce e riporti solo quel radice d x ke abbiamo al denominatore…grz mille…Carmen
Perchè x/rad(x)=rad(x)
scusa Albert non capisco come hai fatto a disegnare i punti di minimo e di flesso non sapendo le relative f'(4) e f”(8)…a me vengono 0 entrambe quindi tutte e due sull’asse x. Dove sbaglio?
x=4 e x=8 non vanno sostituiti nella f’ e f” (se viene 0 diciamo che può essere un buon controllo per vedere se hai fatto bene i conti), ma vanno sostituiti entrambi nella f(x) iniziale: solo così scopri le ordinate di tali punti (4/rad2 e 8/rad6)
nel secondo passaggio della derivata prima perchè non c’è più la radice al numeratore??
Perchè ho fatto il comune denominatore, e rad(x-2)*rad(x-2)=x-2
ciao,potresti mostrarmi bene tutti i passaggi della derivata prima??
ciao albert inanzittuo complimenti per il sito , davvero molto utile! ho un piccolo problema mi potresti spiegare come hai calcolato la derivata prima e seconda della funzione? grazie mille
Ho fatto la derivata di una fratta in questo modo:
f = N / D
f’ = ( N’*D – N*D’ ) * ( 1 / D^2 )
Ciao! Potresti mostrarmi i passaggi che portano a dire che il limite per x che tende a + infinito è uguale a + infinito? Si risolve qualche forma indeterminata? grazie in anticipo
Per x–>+inf :
lim x/rad(x+2) = [inf/inf] =
= lim x/rad(x(1+2/x)) =
= lim x/(rad(x) rad(1+2/x)) =
= lim rad(x) /rad(1+2/x) =
= +inf/1 = +inf
Scusate come si passa da lim x/(rad(x) rad(1+2/x)) a lim rad (x) /rad(1+2/x) ??
ma +infinito/1 non fa 0??
Ciao! Non capisco molte cose ad esempio nel secondo passaggio della derivata prima perchè togli il numero “2” che si trova al denominatore? un altra cosa che non riesco a capire è la formula della derivata prima io conoscevo questa : ” f'(x)per g(x)-f(x)per g'(x) tutto questo fratto g(x)al quadrato, poi essendo una fratta con la radice al denominatore tutto quello che ti ho appena detto lo moltiplico per la derivata della radice “. La f(x)= x , f'(x)= la derivata di x .La g(x)= radice di x-2 g'(x)= la derivata della radice di x-2. Come mai trovi un solo punto minimo? non dovresti sostituire il 4 alla funzione iniziale? io l’ho sostituito e mi viene il secondo punto 2per radice di 2.
– Mi ero dimenticato il 2 al denominatore: ho modificato, ma non cambia niente ai fini dello studio del segno di f'(x), e nemmeno per il calcolo di f”(x) (in quanto ho derivato la f’ corretta -col 2 al denominatore-)
– La formula per le fratte applicata qui è
(N’D-ND’)*1/D^2 e corrisponde appunto a quella che conosci tu: (N’D-ND’)/D^2
– Il punto di minimo (che è uno solo) ha due coordinate: MIN(4;2rad2). La y del minimo non l’ho calcolata nello svolgimento, ma ti confermo che è 2rad2.
ciao! mi aiuteresti a capire come si calcola l’intersezione con gli assi? ho provato a guardare anche altri esercizi ma proprio non capisco!
Intersezioni con l’asse delle ascisse (x):
Poniamo f(x)=0 e risolviamo questa equazione, nella quale ci chiediamo quali valori di x rendono l’ordinata y=f(x) nulla. Quindi, sull’asse delle x.
Intersezioni con l’asse delle ordinate (y):
Calcoliamo f(0), dunque sostituiamo zero al posto della x nell’espressione y=f(x). Così facendo, possiamo vedere se e a quale valore di ordinata la funzione passa per l’asse delle ordinate, che ha equazione x=0.
ps: in questa funzione non calcoliamo quest’ultima intersezione perchè x=0 non appartiene al dominio di f(x).
Ciao Riccardo,
– se m=0 non c’è asintoto obliquo
– il dominio (le x) non c’entra con l’m dell’asintoto
calcolando il limite per +infinito, perchè nel punto 0 non è presente asintoto obliquo? perchè la soluzione non è compresa nel dominio? ti ringrazio in anticipo, Riccardo
Ciao Anonimo,
beh perchè la funzione non esiste per x<2… grazie!
ciao albert!!! grazie per questo fantastico sito!!il mio problema sono i limiti destro e sinistro.perche in questo caso non abbiamo fatti il limite sinistro di 2??
Viene 8, ho controllato anche con wolframalpha:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=der+%28x-4%29%2F%282%28x-2%29^%283%2F2%29%29
Ciao Albert..non riesco a svolgere la derivata 2^..il flesso risulta 5 xò leggendo il tuo commento dev’essere 8
Ciao Anonimi,
– In realtà il modulo non serve perchè x-2 non può essere negativo, infatti il dominio è x>2 e semplificando viene:
f'(x)=(x-4)/(2(x-2)^3/2)
– La derivata seconda semplicemente non l’ho fatta…se fai i conti ti viene un flesso per x=8
Sisi anch’iooooooooo!!!!
Ciao, non riesco a capire il calcolo del denominatore nel calcolo del minimo
Ciao Albert complimenti per qst sito…ottimo!!!!!cmq trovo difficoltà nella derivata 1^ a causa di quel valore assoluto!!!!e la derivata 2^???