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Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=\frac{1+x}{1-\left|x\right|} \] Innanzitutto la funzione si può anche scrivere in questo modo:
Se \[ x\geq0 \] allora: \[ f\left(x\right)=\frac{1+x}{1-x} \] Se \[ x<0 \] allora: \[ f\left(x\right)=\frac{1+x}{1+x}\rightarrow f\left(x\right)=1 \] 1) Dominio: \[ 1-\left|x\right|\neq0\rightarrow\left|x\right|\neq1\rightarrow x\neq\pm1 \] \[ D=R-\left\{ \pm1\right\} \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)=\frac{1-x}{1-\left|-x\right|}=\frac{1-x}{1-\left|x\right|} \] \[ f\left(-x\right)\neq f\left(x\right) \] \[ f\left(-x\right)\neq-f\left(x\right) \] f(x) non è ne pari ne dispari.

3) Intersezioni con gli assi: \[ \left\{ \begin{array}{c} x=0\\ f\left(x\right)=1 \end{array}\right.\rightarrow\left(0;1\right)\in f\left(x\right) \] 4) Segno:
Avremo due casi:

a) x>0 \[ f\left(x\right)\geq0 \] \[ \frac{1+x}{1-x}\geq0 \] \[ \left\{ \begin{array}{c} Num\geq0\rightarrow x\geq-1\\ Den>0\rightarrow x\leq+1 \end{array}\right. \] Ora, ricordandoci che stiamo studiando la funzione per x>0, scopriamo che il numeratore è sempre positivo, mentre il denominatore è positivo tra 0 e 1, e negativo per x>1. Di conseguenza per x>0 la funzione prenderà il segno del denominatore: \[ Intervallo\;\left(0;1\right)\rightarrow f\left(x\right)>0 \] \[ Intervallo\;\left(1;+\infty\right)\rightarrow f\left(x\right)<0 \] b) x<0:
In questo caso f(x)=1, è una retta orizzontale ad altezza 1, quindi è sempre positiva.

5) Limiti: \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=-1 \] y=-1 è un asintoto orizzontale. \[ \lim_{x\rightarrow1^{\pm}}f\left(x\right)=\left[\frac{2}{0^{\mp}}\right]=\mp\infty \] x=1 è un asintoto verticale. \[ \lim_{x\rightarrow-1^{\pm}}f\left(x\right)=1 \] Per x=-1 si ha quindi un punto di discontinuità di terza specie (o eliminabile, c’è un “buco” nella funzione). NB: nel grafico rappresentato sotto, questo punto (1;1) NON è evidenziato, ma c’è :)

6) Derivate:
Avremo due casi:

a) Intervallo x>0: \[ f’\left(x\right)=\frac{1-x-\left(1+x\right)\left(-1\right)}{\left(1-x\right)^{2}}=\frac{1-x+1+x}{\left(1-x\right)^{2}}=\frac{2}{\left(1-x\right)^{2}} \] \[ f’\left(x\right)\geq0\;\forall x\in D-\left\{ 1\right\} \] quindi f'(x), quando esiste, è sempre positiva per x>0, di conseguenza in questo intervallo f(x) è crescente.

b) Intervallo x<0:
In questo intervallo la funzione vale 1 quindi (f'(x)=0) ed è costante.

Possiamo notare che: \[ f’\left(0\right)=2 \] \[ \lim_{x\rightarrow0^{-}}f’\left(x\right)=0 \] \[ \lim_{x\rightarrow0^{-}}f’\left(x\right)\neq f’\left(0\right) \] quindi in (0;1) abbiamo un punto angoloso.

Derivata seconda, i due casi:

a) Intervallo x>0: \[ f”\left(x\right)=\frac{-2\cdot2\left(1-x\right)\left(-1\right)}{\left(1-x\right)^{4}}=\frac{4\left(1-x\right)}{\left(1-x\right)^{4}} \] facendo i conti: \[ f”\left(x\right)\geq0\rightarrow1-x\geq0\rightarrow x<1 \] quindi, per x>0, la funzione risulta convessa nell’intervallo (0;1), concava nell’intervallo x>1.

b) x<0: \[ f”\left(x\right)=0 \] Come sappiamo la funzione per x<0 vale 1, è costante, quindi ne concava ne convessa.

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