La probabilità studia la misura dell’incertezza degli eventi. In questa pagina trovi probabilità esercizi svolti step by step: dalla probabilità classica al teorema di Bayes, con applicazioni alla maturità scientifica.
Richiami teorici essenziali
Calcolo combinatorio
- Permutazioni di $n$ oggetti: $P_n = n!$
- Disposizioni semplici di $n$ oggetti a $k$ a $k$: $D_{n,k} = \dfrac{n!}{(n-k)!}$
- Combinazioni semplici di $n$ a $k$: $C_{n,k} = \dbinom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$
Definizioni fondamentali di probabilità
Probabilità classica (eventi equiprobabili):
$$P(E) = \frac{\text{casi favorevoli}}{\text{casi possibili}}$$
Probabilità condizionale:
$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad P(B) > 0$$
Probabilità totale (partizione $B_1,\ldots,B_n$):
$$P(A) = \sum_{i=1}^n P(A|B_i)\,P(B_i)$$
Teorema di Bayes:
$$P(B_i|A) = \frac{P(A|B_i)\,P(B_i)}{\displaystyle\sum_{j=1}^n P(A|B_j)\,P(B_j)}$$
Esercizi svolti di probabilità
Esercizio 1 — Evento semplice (lancio di un dado)
Testo: Si lancia un dado regolare a 6 facce. Calcolare la probabilità di ottenere un numero pari.
Svolgimento:
Spazio campionario: $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, con $|\Omega| = 6$.
Evento “numero pari”: $E = \{2, 4, 6\}$, con $|E| = 3$.
$$P(E) = \frac{|E|}{|\Omega|} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$
Risposta: $P(\text{numero pari}) = 0{,}5$
Esercizio 2 — Probabilità condizionale (estrazione senza rimpiazzo)
Testo: Un’urna contiene 4 palline rosse e 6 bianche. Si estraggono 2 palline senza rimpiazzo. Calcolare la probabilità che la seconda sia rossa, sapendo che la prima è rossa.
Svolgimento:
Dopo aver estratto una pallina rossa alla prima mossa, restano 9 palline: 3 rosse e 6 bianche.
$$P(\text{2ª rossa} \mid \text{1ª rossa}) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$$
Risposta: $\dfrac{1}{3} \approx 33{,}3\%$
Esercizio 3 — Probabilità totale (problema delle urne)
Testo: Urna A: 2 rosse, 3 bianche. Urna B: 4 rosse, 1 bianca. Si sceglie un’urna a caso (probabilità $\tfrac{1}{2}$ ciascuna) e si estrae una pallina. Qual è la probabilità che sia rossa?
Svolgimento:
$$P(\text{rossa}) = P(\text{rossa}|A)\,P(A) + P(\text{rossa}|B)\,P(B) = \frac{2}{5}\cdot\frac{1}{2} + \frac{4}{5}\cdot\frac{1}{2} = \frac{2}{10} + \frac{4}{10} = \frac{3}{5}$$
Risposta: $P(\text{rossa}) = 0{,}6$
Esercizio 4 — Teorema di Bayes
Testo: (continua l’esercizio 3) Sapendo che la pallina estratta è rossa, qual è la probabilità che venga dall’urna A?
Svolgimento:
$$P(A \mid \text{rossa}) = \frac{P(\text{rossa}|A)\,P(A)}{P(\text{rossa})} = \frac{\tfrac{2}{5}\cdot\tfrac{1}{2}}{\tfrac{3}{5}} = \frac{\tfrac{1}{5}}{\tfrac{3}{5}} = \frac{1}{3}$$
Risposta: $P(A\mid\text{rossa}) = \dfrac{1}{3}$
Probabilità alla maturità scientifica
La probabilità è presente sistematicamente nella seconda prova dal 2019. Gli argomenti più richiesti: probabilità classica, eventi dipendenti, probabilità condizionale e teorema di Bayes. Trovi le tracce commentate su maturità scientifica — esercizi svolti.
Domande frequenti sulla probabilità
Qual è la differenza tra probabilità classica e frequentista?
La probabilità classica si calcola a priori su eventi equiprobabili: $P(E) = \text{casi favorevoli}/\text{casi possibili}$. La probabilità frequentista si stima a posteriori come limite della frequenza relativa di un evento al crescere del numero di prove.
Quando si usa il teorema di Bayes?
Il teorema di Bayes serve per “invertire” una probabilità condizionale: quando si conosce $P(A|B)$ e si vuole calcolare $P(B|A)$. È tipico nei problemi con cause multiple (urne, test diagnostici, qualità industriale) e compare frequentemente alla maturità scientifica dal 2019.
Come si studia la probabilità per la maturità scientifica?
Studia nell’ordine: calcolo combinatorio (permutazioni, disposizioni, combinazioni) → probabilità classica → probabilità condizionale → teorema di Bayes. Esercitati con le tracce MIUR degli anni recenti disponibili su questa pagina.