Il calcolo combinatorio studia il numero di modi in cui si possono scegliere o disporre oggetti in un insieme. In questa pagina trovi calcolo combinatorio esercizi svolti passo per passo: permutazioni, disposizioni semplici e con ripetizione, combinazioni semplici.

Le tre operazioni fondamentali del calcolo combinatorio

Permutazioni

Le permutazioni di $n$ oggetti distinti sono tutti i modi di ordinarli in sequenza:

$$P_n = n! = n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1$$

Le permutazioni con ripetizione di $n$ oggetti in cui il primo tipo si ripete $n_1$ volte, il secondo $n_2$ volte, ecc.:

$$P_n^{(n_1, n_2, \ldots)} = \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdots}$$

Disposizioni

Le disposizioni semplici di $n$ oggetti a $k$ a $k$ (ordine importante, senza ripetizione):

$$D_{n,k} = \frac{n!}{(n-k)!}$$

Le disposizioni con ripetizione (ordine importante, con ripetizione):

$$D_{n,k}^{(r)} = n^k$$

Combinazioni

Le combinazioni semplici di $n$ oggetti a $k$ a $k$ (ordine non importante, senza ripetizione):

$$C_{n,k} = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Esercizi svolti di calcolo combinatorio

Esercizio 1 — Permutazioni: anagrammi

Testo: Quanti anagrammi (anche senza senso) si possono formare con le lettere della parola MATEMATICA?

Svolgimento:

La parola MATEMATICA ha 10 lettere: M (2), A (3), T (2), E (1), I (1), C (1).

$$P_{10}^{(2,3,2,1,1,1)} = \frac{10!}{2! \cdot 3! \cdot 2! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1!} = \frac{3628800}{2 \cdot 6 \cdot 2} = \frac{3628800}{24} = 151200$$

Risposta: 151 200 anagrammi

Esercizio 2 — Disposizioni semplici: podio

Testo: In una gara di 10 atleti, in quanti modi si possono assegnare i premi (oro, argento, bronzo)?

Svolgimento:

$$D_{10,3} = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$$

Risposta: 720 modi

Esercizio 3 — Combinazioni: squadra di calcio

Testo: Da una rosa di 15 giocatori, in quanti modi si può scegliere una squadra di 11?

Svolgimento:

$$C_{15,11} = \binom{15}{11} = \binom{15}{4} = \frac{15!}{4! \cdot 11!} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12}{4!} = \frac{32760}{24} = 1365$$

Risposta: 1365 squadre possibili

Esercizio 4 — Combinazioni con probabilità

Testo: Da un mazzo di 52 carte si estraggono 5 carte. Qual è la probabilità di ottenere esattamente 2 assi?

Svolgimento:

Modi favorevoli: scegliere 2 assi su 4 e 3 non-assi su 48:

$$\text{Casi favorevoli} = C_{4,2} \cdot C_{48,3} = 6 \cdot 17296 = 103776$$

Casi totali (5 carte su 52):

$$\text{Casi totali} = C_{52,5} = 2598960$$
$$P = \frac{103776}{2598960} \approx 3{,}99\%$$

Risposta: circa $4\%$

Collegamento con la probabilità

Il calcolo combinatorio è la base della probabilità classica. Per applicazioni complete — teorema di Bayes, probabilità condizionale — vedi probabilità esercizi svolti.

Domande frequenti