Problema 1 – Testo e soluzione – Maturità 2011 Liceo scientifico

Testo

Si considerino le funzioni f e g definite, per tutti gli x reali, da: \[ f(x)=x^{3}-4x\:,\: g(x)=senx \] 1. Fissato un conveniente sistema di riferimento cartesiano Oxy, si studino f e g e se ne disegnino i rispettivi grafici G(f)e G(g).

2. Si calcolino le ascisse dei punti di intersezione di G(f) con la retta y=-3. Successivamente, si considerino i punti di G(g) a tangente orizzontale la cui ascissa è compresa nell’intervallo \[ \left[-6;6\right] \] e se ne indichino le coordinate.

3. Sia R la regione del piano delimitata da G(f) e G(g) sull’intervallo \[ \left[0;2\right] \] Si calcoli l’area di R.

4. La regione R rappresenta la superficie libera dell’acqua contenuta in una vasca. In ogni punto di R a distanza x dall’asse y la misura della profondità dell’acqua nella vasca è data da: \[ h(x)=3-x \] Quale integrale definito dà il volume dell’acqua? Supposte le misure in metri, quanti litri di acqua contiene la vasca?

Soluzione

1. La funzione \[ f(x)=x^{3}-4x \] è un polinomio di terzo grado definito per ogni x reale. Scomponendola in fattori ottengo \[ f(x)=x(x^{2}-4) \] così capisco che è una funzione dispari, infatti: \[ f(-x)=(-x)[(-x)^{2}-4]=-x(x^{2}-4)=-f(x) \] vale per per ogni x, allora il grafico G(f) sarà simmetrico rispetto all’origine O del sistema di riferimento.
Studiando dove cambia di segno la funzione f vedo che: \[ f(x)\geq0\Rightarrow x\geq0,x^{2}-4\geq0 \] quest’ultima risulta come \[ x\leq-2\vee x\geq2 \] Combinando il segno dei fattori trovo che: \[ f(x)\geq0\Rightarrow-2\leq x\leq0\vee x\geq2 \] Ora faccio i limiti della funzione all’infinito: \[ \lim_{x\rightarrow\pm\infty}x(x^{2}-4)=\pm\infty \] e dato anche il limite di f(x)/x non è finito posso dire che non ci sono asintoti di alcun tipo.

Studiando il segno della derivata prima \[ f'(x)=3x^{2}-4 \] riesco a dire che \[ f'(x)\geq0 \] per \[ x\leq-\frac{2}{\sqrt{3}}\vee x\geq\frac{2}{\sqrt{3}} \] e quindi \[ x=-\frac{2}{\sqrt{3}} \] è un punto di massimo, mentre \[ x=\frac{2}{\sqrt{3}} \] è un punto di minimo.

Studiando il segno della derivata seconda \[ f”(x)=6x \] riesco a dire che \[ f”(x)\geq0 \] per \[ x\geq0 \] e quindi per \[ x>0 \] f è convessa con concavità verso l’alto.

Il grafico della \[ g(x)=sen(x) \] si ottiene invece dalla funzione \[ y=sen(x) \] dopo aver notato la periodicità pari a T=2 di g. Difatti si ha \[ g(x+2)=sen[\pi(x+2)]=sen(\pi x+2\pi)=sen(\pi x)=g(x) \] \[ \forall x\epsilon R \] Disposti G(f) e G(g) sullo stesso piano Oxy otteniamo:

2. Le intersezioni di G(f) con la retta y=-3 si ottengono risolvendo il sistema qui sotto: \[ \begin{cases} \begin{array}{c} y=x^{3}-4x\\ y=-3 \end{array}\end{cases} \] I punti di G(g) a tangente orizzontale si individuano con la condizione \[ g'(x)=0 \] ossia: \[ \pi\cos(\pi x)=0\Rightarrow cos(\pi x)=0\Rightarrow\pi x=\frac{\pi}{2}+k\pi \] da cui \[ x=\frac{1}{2}+k \] Posta poi la condizione che le ascisse siano comprese tra -6 e 6, allora: \[ -6\leq\frac{1}{2}+k\leq6 \] che ci dice che i valori accettabili per k sono nell’intervallo \[ -6,5\leq k\leq5,5 \] cioè sono
\[ k=-6,-5,…,4,5 \] per un totale di 12 punti. Le corrispondenti ordinate sono \[ g(\frac{1}{2}+k)=sen\pi(\frac{1}{2}+k)=sen\left(\frac{\pi}{2}+k\pi\right)=(-1)^{k} \] e i 12 punti trovati hanno perciò coordinate \[ \left(\frac{1}{2}+k,\left(-1\right)^{k}\right) \] con \[ -6\leq k\leq5 \] \[ k\epsilon Z \] 3. L’area desiderata si trova calcolando il seguente integrale: \[ A=\intop_{_{0}}^{2}[g(x)-f(x)]dx=\intop_{_{0}}^{2}\left[\sin(\pi x)-x^{3}+4x\right]dx \] \[ A=\intop_{_{0}}^{2}\sin(\pi x)dx-\int_{0}^{2}x^{3}dx+4\intop_{_{0}}^{2}xdx \] \[ A=\intop_{_{0}}^{2}\sin(\pi x)dx-\frac{x^{4}}{4}+4\cdot\frac{x^{2}}{2} \] Posto \[ \pi x=t \] è \[ x=\frac{1}{\pi}t \] e quindi \[ dx=\frac{1}{\pi}dt \] l’integrale che è rimasto posso risolverlo per sostituzione: \[ \intop_{_{0}}^{2}\sin(\pi x)dx=\intop_{_{0}}^{2}\sin(t\frac{1}{\pi})dt=\frac{1}{\pi}\intop_{_{0}}^{2}\sin(t)dt=-\frac{1}{\pi}\cos\left(\pi x\right) \] per cui il calcolo dell’area diventa: \[ A=-\frac{\cos\left(2\pi\right)}{\pi}-\frac{16}{4}+8+\frac{\cos0}{\pi}=4. \] 4. Posto R superficie di una vasca, la profondità della vasca è funzione di \[ h(x)=3-x \] Fissato comunque x, la profondità rimane costante in un piano perpendicolare all’asse x. In particolare, se x = 0 la profondità è h(0) = 3 metri, diminuisce gradualmente passando da 0 ad x = 2, punto dove assume il valore di h(2) = 1 metro. Le sezioni di questa vasca sono rettangoli con il lato orizzontale di lunghezza \[ l_{1}=g(x)-f(x)=\sin\left(\pi x\right)-x^{3}+4x \] e lato verticale di lunghezza \[ l_{2}=h(x)=3-x \] L’area di questi rettangoli è \[ A(x)=l_{1}\text{·}l_{2}=(\sin\left(\pi x\right)-x^{3}+4x)\text{·}(3-x) \] e il volume del solido è ricavato dal seguente integrale: \[ V=\intop_{_{0}}^{2}A(x)dx=\intop_{_{0}}^{2}\left[\sin\left(\pi x\right)-x^{3}+4x)\text{·}(3-x)\right]dx= \] integrando per parti avrò \[ V=\left[3\text{·}\left(\frac{-\cos\left(\pi x\right)}{\pi}\right)-\left(-\frac{x\cos\left(\pi x\right)}{\pi}+\frac{1}{\pi^{2}}\sin\left(\pi x\right)\right)-3\cdot\frac{x^{4}}{4}+\frac{x^{5}}{5}+12\cdot\frac{x^{2}}{2}-4\cdot\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{2} \] \[ V=\left[-\frac{3}{\pi}+\frac{2}{\pi}-12+\frac{32}{5}+24-\frac{32}{3}-\left(-\frac{3}{\pi}\right)\right] \] \[ V=\left(\frac{116}{15}+\frac{2}{\pi}\right)\: m^{3}=\left(\frac{116}{15}+\frac{2}{\pi}\right)\cdot10^{3}\: l\approx8369,9\: l \]

 

5 thoughts on “Problema 1 – Testo e soluzione – Maturità 2011 Liceo scientifico

  1. Una cosa non ho capito… Dal testo sembra quasi che volesse ricavare il volume dell’acqua della vasca però esclusivamente della regione rappresentata dalla superficie libera della vasca, non della vasca completa, quindi avevo pensato di moltiplicare l’area R racchiusa dai due grafici per la funzione h(x), sarebbe stato sbagliato completamente come ragionamento?

    1. e soprattutto l’area della regione R l’avevo calcolata così, visto che era anche sottesa all’asse delle x:
      0∫1 senx dx + |0∫1 x^3-4x dx + |1∫2 x^3 -4x dx| – |1∫2 senx dx|

    2. Per quanto riguarda R puoi controllare tu stesso…se ti viene giusta :) Per quanto riguarda il volume ho il forte sospetto che il tuo ragionamento sia sbagliato…

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