Testo

Nel piano riferito ad un sistema Oxy di coordinate cartesiane siano assegnate le parabole di equazioni: \[ p1:\; y^{2}=2x \] \[ p2:\; x^{2}=y \] 1. Si disegnino le due parabole e se ne determinino le coordinate dei fuochi e le equazioni delle rispettive rette direttrici. Si denoti con A il punto di intersezione delle due parabole diverso dall’origine O.

2. L’ascissa di A è \[ x_{A}=\sqrt[3]{2} \] si dica a quale problema classico dell’antichità è legato tale numero e, mediante l’applicazione di un metodo iterativo di calcolo, se ne trovi il valore approssimato a meno di 10^(-2).

3. Sia D la parte di piano delimitata dagli archi delle due parabole di estremi O e A. Si determini la retta r, parallela all’asse x, che stacca su D il segmento di lunghezza massima.

4. Si consideri il solido W ottenuto dalla rotazione di D intorno all’asse x. Se si taglia W con piani ortogonali all’asse x, quale forma hanno le sezioni ottenute? Si calcoli il volume di W.

Soluzione

1. Indicate le due parabole con p1 e p2, queste si intersecano sia nell’origine O che rappresenta pure il vertice per entrambe che nell’ulteriore punto A che si deduce dall’equazione (ottenuta eliminando la variabile y dalle due equazioni di p1 e p2): \[ \left(x^{2}\right)^{2}=2x\rightarrow x_{A}=\sqrt[3]{2}\rightarrow y_{A}=\sqrt[3]{4}\rightarrow A\left(\sqrt[3]{2};\sqrt[3]{4}\right) \] Riportate le due parabole alla forma canonica e conoscendo che l’asse di simmetria di p1 è l’asse x, le coordinate del fuoco di p1 e l’equazione della sua direttrice d1 sono: \[ F_{1}\left(\frac{1-\Delta}{4a},\frac{-b}{2a}\right)\rightarrow F_{1}\left(\frac{1-0}{4\cdot\frac{1}{2}},\frac{-b}{2a}\right)=\left(\frac{1}{2},0\right) \] \[ d_{1}:x=\frac{-1-\Delta}{4a}\rightarrow x=\frac{-1}{4\cdot\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2} \] Invece per la seconda parabola sarà: \[ F_{2}\left(\frac{1-\Delta}{4a},\frac{-b}{2a}\right)\rightarrow F_{2}\left(0,\frac{1}{4}\right) \] \[ d_{2}:y=-\frac{1}{4} \]

2. Il numero dato si può porre in relazione al problema della duplicazione del cubo.
Questo è uno dei problemi classici e consiste nella costruzione del lato L di un cubo che abbia volume doppio di un altro cubo di lato l assegnato. In altre parole, dato il lato l di un cubo, si dovrà determinare il segmento L tale che: \[ L^{3}=2\cdot l^{3} \] Infatti posto l=1 ottengo proprio il numero che è nella consegna del problema. Per fornire una stima di questo valore sfrutto la funzione f: \[ f\left(x\right)=x^{3}-2 \] in quanto questa ammette come soluzione proprio il numero della consegna. f è una funzione continua, f’ è sempre positiva e assume valore positivo se x=2 mentre valore negativo per x=1. Tutto questo, per il teorema degli zeri, ci suggerisce la presenza di una (unica) radice nell’intervallo compreso tra 1 e 2 che trovo sfruttando il metodo di Newton. \[ x_{0}=1 \] \[ x_{1}=g\left(x_{0}\right)=1-\frac{1-2}{3\cdot1}\approx1,33 \] \[ x_{2}=g\left(x_{1}\right)=\frac{4}{3}-\frac{\left(\frac{4}{3}\right)^{3}-2}{3\cdot\left(\frac{4}{3}\right)^{2}}\approx1,2639 \] \[ x_{3}=g\left(x_{2}\right)=1,2639-\frac{\left(1,2639\right)^{3}-2}{3\cdot\left(1,2639\right)^{2}}\approx1,2599 \] Già al terzo passaggio si nota una precisione fino alla seconda cifra dopo la virgola, pertanto posso prendere 1,2599 come soluzione stando certo che l’errore della stima sarà minore di 10^(-2).

3. L’equazione di un fascio di rette che interseca la parabola p1 nel punto P e la parabola p2 nel punto Q ha l’equazione: \[ y=k\;0\leq k\leq\sqrt[3]{4} \] Mettendo a sistema l’equazione della retta con quella della parabola (p1 prima e p2 poi) avrò l’ascissa di P (e di Q): \[ y=k\wedge2x=y^{2}\rightarrow2x=k^{2}\rightarrow x_{P}=\frac{k^{2}}{2} \] \[ y=k\wedge y=x^{2}\rightarrow x^{2}=k\rightarrow x_{Q}=\sqrt{k} \] La lunghezza del segmento PQ è quindi di: \[ PQ=|x_{Q}-x_{P}|=x_{Q}-x_{P}=\sqrt{k}-\frac{k^{2}}{2} \] Per individuare il valore di k che corrisponde alla massima lunghezza di PQ studiamo la derivata prima della funzione f(k). \[ f\left(k\right)=\sqrt{k}-\frac{k^{2}}{2} \] \[ f’\left(k\right)=\frac{1}{2\sqrt{k}}-k=\frac{1-2k\sqrt{k}}{2\sqrt{k}}=\frac{1-2k^{\frac{3}{2}}}{2\sqrt{k}} \] \[ 1-2k^{\frac{3}{2}}\geq0\rightarrow k^{\frac{3}{2}}\leq\frac{1}{2}\rightarrow k\leq\frac{1}{\sqrt[3]{4}}\rightarrow y=\frac{1}{\sqrt[3]{4}} \] 4. La rotazione di D attorno all’asse x genera il solido in figura dove la superficie esterna appare quella di un paraboloide (che è la superficie che si ottiene dalla rotazione di una parabola attorno al proprio asse di simmetria). Le sezioni di questo solido con piani perpendicolari all’asse x si possono individuare anche riprendendo la regione D e considerando le sue sezioni bidimensionali ottenute con il fascio di rette x = t quando sia \[ 0\leq t\leq\sqrt[3]{2} \]

Il volume di W si può calcolare come differenza di due solidi: quello generato dalla regione delimitata dalla parabola p1, dall’asse x e dalla retta \[ x=\sqrt[3]{2} \] con quello, più interno, generato dalla rotazione della regione definita dall’arco di p2, dall’asse x e dalla retta precedentemente descritta. \[ V_{1}=\pi\int_{0}^{\sqrt[3]{2}}\left(\sqrt{2x}\right)^{2}dx=\pi\int_{0}^{\sqrt[3]{2}}2x\cdot dx \] \[ V_{2}=\pi\int_{0}^{\sqrt[3]{2}}\left(x^{2}\right)^{2}dx=\pi\int_{0}^{\sqrt[3]{2}}x^{4}dx \] \[ V\left(W\right)=V_{1}-V_{2}=\pi\int_{0}^{\sqrt[3]{2}}2x\cdot dx-\pi\int_{0}^{\sqrt[3]{2}}x^{4}dx=…=\frac{3\pi}{5}\sqrt[\cdot3]{4} \]