Testo Sia G il grafico di una funzione f(x) che ha come dominio tutto l’insieme dei numeri reali. Si illustri in che modo è possibile stabilire se G è simmetrico rispetto alla retta x=k. Soluzione Considero un generico punto P(x,y) appartenente alla funzione f(x) e la sua immagine P'(x’,y’) simmetrico rispetto alla retta x=k. L’appartenenza […]
Testo Si consideri la regione R delimitata da \[ y=\sqrt{x} \] dall’asse x (cioè y = 0) e dalla retta x = 4. L’integrale \[ \int_{0}^{4}2\pi x\left(\sqrt{x}\right)dx \] fornisce il volume del solido: 1) generato da R nella rotazione attorno all’asse x; 2) generato da R nella rotazione attorno all’asse y; 3) di base R […]
Testo Per quale o quali valori di k la funzione \[ \left\{ \begin{array}{c} 3x^{2}-11x-4,\; x\leq4\\ kx^{2}-2x-1,\; x>4 \end{array}\right. \] è continua in x=4? Soluzione Le due equazioni che dividono la funzione includono tutto l’insieme dei numeri reali e la funzione è continua a tratti, la richiesta di continuità implica che i due limiti delle due […]
Testo Sia p(x) un polinomio di grado n. Si dimostri che la sua derivata n-esima è: \[ p^{(n)}(x)=n!a_{n} \] dove \[ a_{n} \] è il coefficiente di \[ x^{n} \] Soluzione Questo è il polinomio di grado n: \[ p\left(x\right)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+..a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=\sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{i} \] La derivata prima è: \[ p^{‘}\left(x\right)=n\cdot a_{n-1}x^{n-1}+\left(n-1\right)a_{n-1}x^{n-2}+..+a_{2}x+a_{1}=\sum_{i=1}^{n}ia_{i}x^{i-1} \] La derivata seconda è: \[ p^{”}\left(x\right)=n\cdot\left(n-1\right)\cdot […]
Testo Si trovi l’equazione cartesiana del luogo geometrico descritto dal punto \[ P\left(3\cos t,2\sin t\right) \] al variare di t \[ t\geq0\:\wedge\: t\leq2\pi \] Soluzione Le coordinate del punto P sono date in forma parametrica, cioè sono espresse tramite due equazioni. Queste due equazioni sono dipendenti ciascuna da un parametro t \[ t\geq0\:\wedge\: t\leq2\pi \] […]
Testo Se n>3 e \[ a_{n-1}=\left(\begin{array}{c} n\\ n-1 \end{array}\right),a_{n-2}=\left(\begin{array}{c} n\\ n-2 \end{array}\right),a_{n-3}=\left(\begin{array}{c} n\\ n-3 \end{array}\right) \] sono in progressione aritmetica, che valore avrà n? Soluzione Se i tre elementi sono in progressione aritmetica significa che la differenza tra un elemento della successione e il precedente – o il successivo – è un valore costante d […]
Tema svolto relativo alla seconda prova dell’ esame di stato 2010 per il liceo scientifico – indirizzo PNI. Traccia della seconda prova – Scientifico PNI 2010 Problema 1 – Scientifico PNI 2010 (testo e soluzione) Problema 2 – Scientifico PNI 2010 (testo e soluzione) Quesito 1 – Scientifico PNI 2010 (testo e soluzione) Quesito 2 […]
Testo Per la ricorrenza della festa della mamma, la sig.ra Luisa organizza una cena a casa sua, con le sue amiche che hanno almeno una figlia femmina. La sig.ra Anna è una delle invitate e perciò ha almeno una figlia femmina. Durante la cena, la sig.ra Anna dichiara di avere esattamente due figli. Si chiede: […]
Testo Siano: 1) ABC un triangolo rettangolo in A; 2) r la retta perpendicolare in B al piano del triangolo; 3) P un punto di r distinto da B. Si dimostri che i tre triangoli PAB, PBC, PCA sono triangoli rettangoli. Soluzione Poichè la retta r è perpendicolare al piano del triangolo nel punto B […]