Testo Si consideri la regione limitata da \[ y=\sqrt{x} \] dall’asse x e dalla retta \[ x=4 \] e si calcoli il volume del solido che essa genera ruotando di un giro completo intorno all’asse y. Soluzione L’equazione \[ y=\sqrt{x}\; x\epsilon R^{+} \] rappresenta un arco di parabola. La regione che si vuole considerare nelle […]
Testo Nel piano riferito ad un sistema Oxy di coordinate cartesiane siano assegnate le parabole di equazioni: \[ p1:\; y^{2}=2x \] \[ p2:\; x^{2}=y \] 1. Si disegnino le due parabole e se ne determinino le coordinate dei fuochi e le equazioni delle rispettive rette direttrici. Si denoti con A il punto di intersezione delle […]
Testo Si provi che non esiste un triangolo ABC con AB = 3, AC = 2 e l’angolo ABC di 45 gradi. Si provi inoltre che se AB = 3, AC = 2 e l’angolo ABC di 30 gradi, allora esistono due triangoli che soddisfano queste condizioni. Soluzione Dai dati del problema riscriviamo lati, angoli […]
Testo In figura è riportato il grafico di g(x) per x tra -2 e 5, essendo g la derivata di una funzione f. Il grafico consiste di tre semicirconferenze con centri in (0, 0), (3, 0), (9/2 , 0) e raggi rispettivi 2, 1 e 0.5. 1. Si scriva un’espressione analitica di g(x). Vi sono […]
Testo Se n>3 e \[ a_{n-1}=\left(\begin{array}{c} n\\ n-1 \end{array}\right),a_{n-2}=\left(\begin{array}{c} n\\ n-2 \end{array}\right),a_{n-3}=\left(\begin{array}{c} n\\ n-3 \end{array}\right) \] sono in progressione aritmetica, che valore avrà n? Soluzione Se i tre elementi sono in progressione aritmetica significa che la differenza tra un elemento della successione e il precedente – o il successivo – è un valore costante d […]
Tema svolto relativo alla seconda prova dell’ esame di stato 2010 per il liceo scientifico – indirizzo PNI. Traccia della seconda prova – Scientifico PNI 2010 Problema 1 – Scientifico PNI 2010 (testo e soluzione) Problema 2 – Scientifico PNI 2010 (testo e soluzione) Quesito 1 – Scientifico PNI 2010 (testo e soluzione) Quesito 2 […]
Testo Per quale o quali valori di k la funzione \[ \left\{ \begin{array}{c} 3x^{2}-11x-4,\; x\leq4\\ kx^{2}-2x-1,\; x>4 \end{array}\right. \] è continua in x=4? Soluzione Le due equazioni che dividono la funzione includono tutto l’insieme dei numeri reali e la funzione è continua a tratti, la richiesta di continuità implica che i due limiti delle due […]
Testo Si consideri la regione R delimitata da \[ y=\sqrt{x} \] dall’asse x (cioè y = 0) e dalla retta x = 4. L’integrale \[ \int_{0}^{4}2\pi x\left(\sqrt{x}\right)dx \] fornisce il volume del solido: 1) generato da R nella rotazione attorno all’asse x; 2) generato da R nella rotazione attorno all’asse y; 3) di base R […]
Testo Si determini il dominio della funzione \[ f\left(x\right)=\sqrt{\cos x} \] Soluzione Il dominio di f(x) si ricava ponendo l’esistenza della radice quadrata \[ \cos x\geq0\rightarrow x\geq-\frac{\pi}{2}+2k\pi\:\wedge\: x\leq\frac{\pi}{2}+2k\pi \] Questa appena trovata non è solo la condizione d’esistenza della radice quadrata, ma è anche il dominio della funzione intera.
Testo Si provi che non esiste un triangolo ABC con AB = 3, AC = 2 e l’angolo ABC di 45 gradi. Si provi inoltre che se AB = 3, AC = 2 e l’angolo ABC di 30 gradi, allora esistono due triangoli che soddisfano queste condizioni. Soluzione Dai dati del problema riscriviamo lati, angoli […]