Testo Un serbatoio ha la stessa capacità del massimo cono circolare retto di apotema 80 cm. Qual è la capacità in litri del serbatoio? Soluzione Pongo V come vertice del cono circolare retto di massimo volume, H piede della sua altezza e A punto qualsiasi della circonferenza di base. L’apotema misura VA=80cm mentre l’altezza è […]
Testo Si calcoli con la precisione di due cifre decimali lo zero della funzione: \[ f\left(x\right)=\sqrt[3]{x}+x^{3}-1 \] Come si può essere certi che esiste un unico zero? Soluzione La funzione \[ f\left(x\right)=\sqrt[3]{x}+x^{3}-1 \] ha come dominio tutto R e nel suo dominio la funzione è sempre continua, in particolare anche nell’intervallo tra 0 e 1 […]
Testo Si determini il dominio della funzione \[ f\left(x\right)=\sqrt{\cos x} \] Soluzione Il dominio di f(x) si ricava ponendo l’esistenza della radice quadrata \[ \cos x\geq0\rightarrow x\geq-\frac{\pi}{2}+2k\pi\:\wedge\: x\leq\frac{\pi}{2}+2k\pi \] Questa appena trovata non è solo la condizione d’esistenza della radice quadrata, ma è anche il dominio della funzione intera.
Testo Sia G il grafico di una funzione f(x) che ha come dominio tutto l’insieme dei numeri reali. Si illustri in che modo è possibile stabilire se G è simmetrico rispetto alla retta x=k. Soluzione Considero un generico punto P(x,y) appartenente alla funzione f(x) e la sua immagine P'(x’,y’) simmetrico rispetto alla retta x=k. L’appartenenza […]
Testo Si consideri la regione R delimitata da \[ y=\sqrt{x} \] dall’asse x (cioè y = 0) e dalla retta x = 4. L’integrale \[ \int_{0}^{4}2\pi x\left(\sqrt{x}\right)dx \] fornisce il volume del solido: 1) generato da R nella rotazione attorno all’asse x; 2) generato da R nella rotazione attorno all’asse y; 3) di base R […]
Testo Per quale o quali valori di k la funzione \[ \left\{ \begin{array}{c} 3x^{2}-11x-4,\; x\leq4\\ kx^{2}-2x-1,\; x>4 \end{array}\right. \] è continua in x=4? Soluzione Le due equazioni che dividono la funzione includono tutto l’insieme dei numeri reali e la funzione è continua a tratti, la richiesta di continuità implica che i due limiti delle due […]
Testo Sia p(x) un polinomio di grado n. Si dimostri che la sua derivata n-esima è: \[ p^{(n)}(x)=n!a_{n} \] dove \[ a_{n} \] è il coefficiente di \[ x^{n} \] Soluzione Questo è il polinomio di grado n: \[ p\left(x\right)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+..a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=\sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{i} \] La derivata prima è: \[ p^{‘}\left(x\right)=n\cdot a_{n-1}x^{n-1}+\left(n-1\right)a_{n-1}x^{n-2}+..+a_{2}x+a_{1}=\sum_{i=1}^{n}ia_{i}x^{i-1} \] La derivata seconda è: \[ p^{”}\left(x\right)=n\cdot\left(n-1\right)\cdot […]
Testo Si trovi l’equazione cartesiana del luogo geometrico descritto dal punto \[ P\left(3\cos t,2\sin t\right) \] al variare di t \[ t\geq0\:\wedge\: t\leq2\pi \] Soluzione Le coordinate del punto P sono date in forma parametrica, cioè sono espresse tramite due equazioni. Queste due equazioni sono dipendenti ciascuna da un parametro t \[ t\geq0\:\wedge\: t\leq2\pi \] […]
Testo Se n>3 e \[ a_{n-1}=\left(\begin{array}{c} n\\ n-1 \end{array}\right),a_{n-2}=\left(\begin{array}{c} n\\ n-2 \end{array}\right),a_{n-3}=\left(\begin{array}{c} n\\ n-3 \end{array}\right) \] sono in progressione aritmetica, che valore avrà n? Soluzione Se i tre elementi sono in progressione aritmetica significa che la differenza tra un elemento della successione e il precedente – o il successivo – è un valore costante d […]