Testo Sia r la retta di equazione \[ y=ax \] tangente al grafico di \[ y=e^{x} \] Quale è la misura in gradi e primi sessagesimali dell’angolo che la retta r forma con il semiasse positivo delle ascisse? Soluzione Per determinare l’angolo richiesto sfrutto il concetto di coefficiente angolare. Questo infatti esprime la tangente goniometrica […]

Testo Se n>3 e \[ a_{n-1}=\left(\begin{array}{c} n\\ n-1 \end{array}\right),a_{n-2}=\left(\begin{array}{c} n\\ n-2 \end{array}\right),a_{n-3}=\left(\begin{array}{c} n\\ n-3 \end{array}\right) \] sono in progressione aritmetica, che valore avrà n? Soluzione Se i tre elementi sono in progressione aritmetica significa che la differenza tra un elemento della successione e il precedente – o il successivo – è un valore costante d […]

Testo Sia G il grafico di: \[ f(x)=e^{3x}+1 \] Per quale valore di x la retta tangente a G in (x, f(x)) ha pendenza uguale a 2? Soluzione La pendenza di una retta tangente ad una funzione reale è data dalla derivata prima della funzione stessa: \[ f^{‘}\left(x\right)=3e^{3x} \] Poniamo \[ f^{‘}\left(x\right)=2 \] Otteniamo: \[ […]

Testo Sia p(x) un polinomio di grado n. Si dimostri che la sua derivata n-esima è: \[ p^{(n)}(x)=n!a_{n} \] dove \[ a_{n} \] è il coefficiente di \[ x^{n} \] Soluzione Questo è il polinomio di grado n: \[ p\left(x\right)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+..a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=\sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{i} \] La derivata prima è: \[ p^{‘}\left(x\right)=n\cdot a_{n-1}x^{n-1}+\left(n-1\right)a_{n-1}x^{n-2}+..+a_{2}x+a_{1}=\sum_{i=1}^{n}ia_{i}x^{i-1} \] La derivata seconda è: \[ p^{”}\left(x\right)=n\cdot\left(n-1\right)\cdot […]

Testo Si consideri la regione limitata da \[ y=\sqrt{x} \] dall’asse x e dalla retta \[ x=4 \] e si calcoli il volume del solido che essa genera ruotando di un giro completo intorno all’asse y. Soluzione L’equazione \[ y=\sqrt{x}\; x\epsilon R^{+} \] rappresenta un arco di parabola. La regione che si vuole considerare nelle […]