Testo

In figura è riportato il grafico di g(x) per x tra -2 e 5, essendo g la derivata di una funzione f. Il grafico consiste di tre semicirconferenze con centri in (0, 0), (3, 0), (9/2 , 0) e raggi rispettivi 2, 1 e 0.5.

1. Si scriva un’espressione analitica di g(x). Vi sono punti in cui g(x) non è derivabile? Se sì, quali sono? E perchè?

2. Per quali valori di x, compresi tra -2 e 5, la funzione f presenta un massimo o un minimo relativo? Si illustri il ragionamento seguito.

3. Se \[ f\left(x\right)=\int_{-2}^{x}g\left(t\right)dt \] si determini f(4) e f(1).

4. Si determinino i punti in cui la funzione f ha derivata seconda nulla. Cosa si può dire sul segno di f(x)? Qual è l’andamento qualitativo di f(x)?

Soluzione

1. Le equazioni delle tre circonferenze sono: \[ x^{2}+y^{2}=4\rightarrow y=\sqrt{4-x^{2}} \] \[ \left(x-3\right)^{2}+y^{2}=1\rightarrow y=\sqrt{\frac{1}{4}-\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}} \] \[ \left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}+y^{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\rightarrow y=\sqrt{1-\left(x-3\right)^{2}} \] La funzione g avrà quindi la seguente forma – tenendo conto degli intervalli d’esistenza delle singole funzioni -: \[ g:\left\{ \begin{array}{c} y=\sqrt{4-x^{2}}\;-2\leq x\leq2\\ y=\sqrt{\frac{1}{4}-\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}}\;2\leq x\leq4\\ y=\sqrt{1-\left(x-3\right)^{2}}\;4\leq x\leq5 \end{array}\right. \] Questa funzione è continua nell’intervallo tra -2 e 5 e i soli punti interni dove non si avrà derivata sono x=2 e x=4, mentre non ci sarà derivata destra in x=-2 e derivata sinistra in x=5 (la dimostrazione è legata al calcolo del rapporto incrementale in ognuno di questi punti).

2. Poichè vengono richiesti i valori di x in corrispondenza dei quali la funzione f assume valori estremi – di cui g(x) è la derivata- sarà sufficiente, in base al teorema sulla monotonia delle funzioni derivabili, studiare il segno della derivata prima, ossia il segno di g(x). Nell’intervallo compreso tra -2 e 5, la funzione g è maggiore o pari a 0 per x compreso tra -2 e 2 e tra 4 e 5; mentre g è negativa per x compresi tra 2 e 4.

La funzione f presenta un punto di massimo relativo in x = 2 ed un minimo relativo per x = 4.

3. Posta f funzione integrale di g: \[ f\left(x\right)=\int_{-2}^{x}g\left(t\right)dt \] Si può calcolare f(4) sfruttando il significato geometrico (l’integrale definito esprime l’area della regione compresa tra il grafico della funzione, l’asse x e le due rette parallele all’asse y descritte dagli estremi d’integrazione) di integrale: \[ f\left(4\right)=\int_{-2}^{2}g\left(t\right)dt+\int_{2}^{4}g\left(t\right)dt=A\left(s_{1}\right)-A\left(s_{2}\right)=\frac{1}{2}\pi r_{1}^{2}-\frac{1}{2}\pi r_{2}^{2}=\frac{1}{2}\pi2{}^{2}-\frac{1}{2}\pi1{}^{2}=\frac{3}{2}\pi \] In un modo sinile riesco a trovarmi f(1), poichè si può ottenere come somma delle aree del triangolo rettangolo – in figura evidenziato in verde – e del settore circolare – in figura di colore giallo – (il triangolo ha base unitaria e ipotenusa pari a 2, l’ampiezza dell’angolo con vertice in O è di 60 gradi): \[ f\left(1\right)=A\left(\Delta\right)+A\left(sett\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\alpha r_{1}^{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\pi\cdot2^{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{4}{3}\pi \]

4. Per determinare i punti dove si annulla la derivata seconda di f si può anche non calcolarla esplicitamente, ma basta soffermarsi sull’andamento di g(x) – ricordiamo che, per quanto detto prima, f ”=g’. Basta quindi calcolarmi i punti dove g presenta rette a tangente orizzontali (x=3, x=0, x=9/2 che in pratica sono le ascisse dei centri delle tre semicirconferenze in cui il grafico è diviso).

Per quanto riguarda il segno della funzione f, si può dedurre rivedendo l’integrale definito e considerando la sua interpretazione geometrica come risultante dell’area sottesa alla curva di f. Per x=-2: \[ f\left(-2\right)=\int_{-2}^{2}g\left(t\right)dt=0 \] All’aumentare di x, avrò questa serie di valori per l’integrale definito: \[ f\left(-1\right)=\frac{2}{3}\pi-\frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ f\left(1\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{4}{3}\pi \] \[ f\left(0\right)=\pi \] \[ f\left(2\right)=2\pi \] \[ f\left(3\right)=\frac{7}{4}\pi \] \[ f\left(4\right)=\frac{3}{2}\pi \] \[ f\left(\frac{9}{2}\right)=\frac{25}{16}\pi \] \[ f\left(5\right)=\frac{13}{8}\pi \] In pratica, l’andamento descritto finora in base ad osservazioni geometriche e coerente con lo studio del segno di g ci suggerisce che f è monotona crescente per x compreso tra -2 e 2 e tra 4 e 5, è monotona decrescente per x compreso tra 2 e 4. Inoltre per x=2 la funzione raggiunge il suo massimo assoluto, mentre x=4 è un suo punto di minimo relativo. La funzione presenta tre punti di flesso per x=0, x=3, x=9/2.