Testo Si provi che non esiste un triangolo ABC con AB = 3, AC = 2 e l’angolo ABC di 45 gradi. Si provi inoltre che se AB = 3, AC = 2 e l’angolo ABC di 30 gradi, allora esistono due triangoli che soddisfano queste condizioni. Soluzione Dai dati del problema riscriviamo lati, angoli […]
Testo Si calcoli: \[ \lim_{x\rightarrow\infty}4x\sin\frac{1}{x} \] Soluzione Il limite dato porta ad una forma d’indeterminazione: \[ \lim_{x\rightarrow\infty}4x\sin\frac{1}{x}=\infty\cdot0 \] Riscrivo la funzione nel modo seguente: \[ 4x\sin\frac{1}{x}=4\frac{\sin\left(\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}} \] Sostituisco: \[ t=\frac{1}{x}\rightarrow\lim_{t\rightarrow0}4\frac{\sin t}{t}=4\rightarrow\lim_{x\rightarrow\infty}4x\sin\frac{1}{x}=4 \]
Testo Nel piano, riferito a coordinate cartesiane Oxy, si consideri la funzione f definita da: \[ f\left(x\right)=b^{x}\;\left(b>0,b\neq1\right) \] 1. Sia G il grafico di f(x) relativo ad un assegnato valore di b. Si illustri come varia G al variare di b. 2. Sia P un punto di G. La tangente a G in P e […]
Testo Siano: 1) ABC un triangolo rettangolo in A; 2) r la retta perpendicolare in B al piano del triangolo; 3) P un punto di r distinto da B. Si dimostri che i tre triangoli PAB, PBC, PCA sono triangoli rettangoli. Soluzione Poichè la retta r è perpendicolare al piano del triangolo nel punto B […]
Tema svolto relativo alla seconda prova dell’ esame di stato 2010 per il liceo scientifico. Traccia della seconda prova – Scientifico 2010 Problema 1 – Scientifico 2010 (testo e soluzione) Problema 2 – Scientifico 2010 (testo e soluzione) Quesito 1 – Scientifico 2010 (testo e soluzione) Quesito 2 – Scientifico 2010 (testo e soluzione) Quesito […]
Testo Un serbatoio ha la stessa capacità del massimo cono circolare retto di apotema 80 cm. Qual è la capacità in litri del serbatoio? Soluzione Pongo V come vertice del cono circolare retto di massimo volume, H piede della sua altezza e A punto qualsiasi della circonferenza di base. L’apotema misura VA=80cm mentre l’altezza è […]
Testo Si calcoli con la precisione di due cifre decimali lo zero della funzione: \[ f\left(x\right)=\sqrt[3]{x}+x^{3}-1 \] Come si può essere certi che esiste un unico zero? Soluzione La funzione \[ f\left(x\right)=\sqrt[3]{x}+x^{3}-1 \] ha come dominio tutto R e nel suo dominio la funzione è sempre continua, in particolare anche nell’intervallo tra 0 e 1 […]
Testo Si determini il dominio della funzione \[ f\left(x\right)=\sqrt{\cos x} \] Soluzione Il dominio di f(x) si ricava ponendo l’esistenza della radice quadrata \[ \cos x\geq0\rightarrow x\geq-\frac{\pi}{2}+2k\pi\:\wedge\: x\leq\frac{\pi}{2}+2k\pi \] Questa appena trovata non è solo la condizione d’esistenza della radice quadrata, ma è anche il dominio della funzione intera.