Testo
Nel piano, riferito a coordinate cartesiane Oxy, si consideri la funzione f definita da: \[ f\left(x\right)=b^{x}\;\left(b>0,b\neq1\right) \] 1. Sia G il grafico di f(x) relativo ad un assegnato valore di b. Si illustri come varia G al variare di b.
2. Sia P un punto di G. La tangente a G in P e la parallela per P all’asse y intersecano l’asse x rispettivamente in A e in B. Si dimostri che, qualsiasi sia P, il segmento AB ha lunghezza costante. Per quali valori di b la lunghezza di AB è uguale a 1?
3. Sia r la retta passante per O tangente a G in e (e = numero di Nepero). Quale è la misura in radianti dell’angolo che la retta r forma con il semiasse positivo delle ascisse?
4. Si calcoli l’area della regione del primo quadrante delimitata dall’asse y, da G e dalla retta d’equazione y = e.
Soluzione
Il grafico G è quello della funzione esponenziale a base maggiore di 1. la funzione è sempre positiva, monotona strettamente crescente e, agli estremi del dominio, ha i limiti:
\[ \lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=0 \] \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=+\infty \] La funzione interseca l’asse y nel punto (0,1) se x>0 e b2>b1 e risulta \[ \left(b_{2}\right)^{x}>\left(b_{1}\right)^{x} \] Viceversa se x<0. Se invece b è compreso tra 0 e 1 il grafico è questo sotto (al variare di b) e la funzione f è monotona decrescente.
\[ \lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=0 \] \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=+\infty \] Nell’ipotesi che sia x<0 e b1>b2 risulta che \[ \left(b_{1}\right)^{x}>\left(b_{2}\right)^{x} \] Viceversa se x>0.
2. Se descrivo il punto P, appartenente a G, come: \[ P\left(x_{0},b^{x_{0}}\right)\epsilon G \] Il punto B che ha la stessa ascissa di P sarà descritto come: \[ B(x_{0},0) \] Mentre per determinare A dobbiamo prima ottenere l’equazione della retta t tangente alla funzione f (x) in P: \[ t:\; y-f\left(x_{0}\right)=f^{‘}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right) \] Ma essendo: \[ f^{‘}\left(x\right)=b^{x} \] Risulta allora che: \[ t:\; y-b^{x_{0}}=b^{x_{0}}\cdot\ln b\cdot\left(x-x_{0}\right) \]
L’ascissa di A la ottengo ponendo nell’equazione precedente y=0: \[ 0-b^{x_{0}}=b^{x_{0}}\cdot\ln b\cdot\left(x-x_{0}\right) \] \[ -1=x\ln b-x_{0}\ln b \] \[ x=x_{0}-\frac{1}{\ln b} \] Allora A ha le seguenti coordinate: \[ A\left(x_{A},0\right)\rightarrow A\left(x_{0}-\frac{1}{\ln b},0\right) \] E la lunghezza del segmento AB sarà (sfruttando la formula per il calcolo della distanza tra due punti): \[ AB=|x_{B}-x_{A}|=|x_{0}-\left(x_{0}-\frac{1}{\ln b}\right)|=|\frac{1}{\ln b}|=\frac{1}{|\ln b|} \] Si noti come nella forma finale di AB non compaia la variabile x, questo dimostra la costanza della lunghezza del segmento AB.
Se poi AB=1 avrò che: \[ 1=\frac{1}{|\ln b|}\rightarrow\left\{ \begin{array}{c} \ln b=1\rightarrow b=e\\ \ln b=-1\rightarrow b=\frac{1}{e} \end{array}\right. \] Entrambe le soluzioni trovate sono ammissibili per le condizioni b > 0 e b diverso da 1.
3. Per giungere alla retta r tangente al grafico G della funzione f: \[ f\left(x\right)=e^{x} \] e passante per l’origine O si deve imporre la condizione \[ x_{A}=0\rightarrow A\equiv O \]
\[ b=e \] \[ x_{A}=x_{0}-\frac{1}{\ln e}=x_{0}-1 \] \[ x_{0}-1=0 \] Ora trovo la retta r (uso la formula della retta tangente che ho già utilizzato per trovarmi t, stavolta pongo b = e ed x0=1): \[ r:\: y-e^{1}=e^{1}\cdot\ln e\left(x-1\right)=e\cdot x \] Ora se considero che il coefficiente angolare di una retta èla tangente goniometrica dell’angolo che questa forma con il semiasse positivo delle ascisse, trovo che: \[ \tan\alpha=m_{r}\rightarrow\tan\alpha=e\rightarrow\alpha=\arctan e\thickapprox1,2183\, rad \] 4. La regione di cui si vuole calcolare l’area è quella colorata in arancio nella figura qui sopra. La retta y = e interseca la funzione f(x) nel punto di ascissa unitaria. l’area richiesta è compresa tra le funzioni \[ y=e \] \[ y=e^{x} \] Da cui trovo l’integrale dell’area A così definito: \[ A=\int_{0}^{1}\left(e-e^{x}\right)dx=e\int_{0}^{1}dx-\int_{0}^{1}e^{x}dx=\left[xe-e^{x}\right]_{0}^{1} \] \[ A=e-e-\left(0-e^{0}\right)=1 \]