Testo

Sia p(x) un polinomio di grado n. Si dimostri che la sua derivata n-esima è: \[ p^{(n)}(x)=n!a_{n} \] dove \[ a_{n} \] è il coefficiente di \[ x^{n} \] Soluzione

Questo è il polinomio di grado n: \[ p\left(x\right)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+..a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=\sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{i} \] La derivata prima è: \[ p^{‘}\left(x\right)=n\cdot a_{n-1}x^{n-1}+\left(n-1\right)a_{n-1}x^{n-2}+..+a_{2}x+a_{1}=\sum_{i=1}^{n}ia_{i}x^{i-1} \] La derivata seconda è: \[ p^{”}\left(x\right)=n\cdot\left(n-1\right)\cdot a_{n}x^{n-2}+\left(n-1\right)\left(n-2\right)a_{n-1}x^{n-3}+..+2a_{2}x=\sum_{i=2}^{n}i\left(i-1\right)a_{i}x^{i-2} \] La derivata k-esima è: \[ p^{k}\left(x\right)=\sum_{i=k}^{n}i\left(i-1\right)\left(i-2\right)..\left(i-k+1\right)a_{i}x^{i-k} \] dove la somma sopra coinvolge n-k+1 addendi. Per k = n la somma in questione viene ridotta ad un solo termine: \[ p^{\left(n\right)}=n\left(n-1\right)\left(n-2\right)..2\cdot1\cdot a_{n}=n!a_{n} \]