Testo

Si consideri la regione limitata da \[ y=\sqrt{x} \] dall’asse x e dalla retta \[ x=4 \] e si calcoli il volume del solido che essa genera ruotando di un giro completo intorno all’asse y.

Soluzione

L’equazione \[ y=\sqrt{x}\; x\epsilon R^{+} \] rappresenta un arco di parabola. La regione che si vuole considerare nelle richieste del problema è quella evidenziata in rosso in figura ed il volume generato dalla sua rotazione lo si può trovare per differenza tra il volume del cilindro avente raggio di base r=4 ed altezza pari all’ordinata di A, cioè 2, e il volume del solido di rotazione della regione S (colorata in verde) compresa tra l’asse y, l’arco di parabola e la retta y=2. \[ V=V_{cil}-V_{S}=\left(\pi r^{2}\right)y_{A}-V_{S}=16\pi\cdot2-V_{S}=32\pi-V_{S} \] \[ V=32\pi-V_{S}=32\pi-\pi\int_{0}^{y_{A}}\left[f\left(y\right)\right]^{2}dy \] \[ V=32\pi-\pi\int_{0}^{2}\left(y^{2}\right)^{2}dy=32\pi-\frac{32}{5}\pi=\frac{128}{5}\pi \]