Testo

Sia r la retta di equazione \[ y=ax \] tangente al grafico di \[ y=e^{x} \] Quale è la misura in gradi e primi sessagesimali dell’angolo che la retta r forma con il semiasse positivo delle ascisse?

Soluzione

Per determinare l’angolo richiesto sfrutto il concetto di coefficiente angolare. Questo infatti esprime la tangente goniometrica dell’angolo che la retta forma col semiasse positivo delle ascisse. \[ a=\tan\alpha \] Per trovare il coefficiente angolare a della retta y = ax. Studiando le condizioni che portano due diverse rette generiche ad essere tangenti ottengo il sistema: \[ \left\{ \begin{array}{c} f\left(x\right)=g\left(x\right)\\ f^{‘}\left(x\right)=g^{‘}\left(x\right) \end{array}\right.\rightarrow\left\{ \begin{array}{c} e^{x}=ax\\ e^{x}=a \end{array}\right.\rightarrow\left\{ \begin{array}{c} x=1\\ a=e^{1}=e \end{array}\right.\rightarrow\tan\alpha=e \] \[ \alpha=\arctan e\approx69°48’09” \]