Testo

Si provi che non esiste un triangolo ABC con AB = 3, AC = 2 e l’angolo ABC di 45 gradi. Si provi inoltre che se AB = 3, AC = 2 e l’angolo ABC di 30 gradi, allora esistono due triangoli che soddisfano queste condizioni.

Soluzione

Dai dati del problema riscriviamo lati, angoli e vertici come in figura:

Applicando il teorema dei seni ottengo che: \[ \frac{AC}{\sin\beta}=\frac{AB}{\sin\gamma}\rightarrow\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}\rightarrow \] \[ \rightarrow\sin\gamma=\frac{c\sin\beta}{b}=\frac{3}{2}\sin45=\frac{3}{2\sqrt{2}}>1 \] Questa equazione che ho trovato non può avere soluzione poichè il codominio della funzione del seno è compreso tra -1 e 1, ciò ci suggerisce che non può esistere un triangolo che abbia come condizioni quelle date dal testo del problema.

Se invece poniamo che l’angolo non sia più di 45 gradi ma di 30 gradi avremo che: \[ \sin\gamma=\frac{c\sin\beta}{b}=\frac{3}{2}\sin30=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{4} \] \[ \gamma_{1}=\arcsin\left(\frac{3}{4}\right)=48,59° \] \[ \gamma_{2}=\pi-\arcsin\left(\frac{3}{4}\right)=131,4° \] Mi calcolo ora anche l’ampiezza del terzo angolo del triangolo: \[ \gamma_{1}=48,59°\rightarrow\alpha_{1}=\pi-\beta-\gamma_{1}=101,4° \] \[ \gamma_{2}=131,4°\rightarrow\alpha_{2}=\pi-\beta-\gamma_{12}=18,59° \] Queste due terne di angoli costituiscono i due triangoli che cercavo.