Testo Il numero delle combinazioni di n oggetti a 4 a 4 è uguale al numero delle combinazioni degli stessi oggetti a 3 a 3. Si trovi n. Soluzione Il numero delle combinazioni di n oggetti a 4 a 4 è dato dal coefficiente binomiale \[ C_{n,4}=\left(\begin{array}{c} n\\ 4 \end{array}\right)=\frac{n!}{4!\cdot(n-4)!} \] (e in maniera analoga […]
Testo Per il progetto di una piscina, un architetto si ispira alle funzioni f e g definite, per tutti gli x reali, da: \[ f\left(x\right)=x^{3}-16x \] \[ g(x)=\sin\frac{\pi}{2}x \] 1. Si studino le funzioni f e g e se ne disegnino i rispettivi grafici in un conveniente sistema di riferimento cartesiano Oxy. Si considerino i […]
Testo Si trovi il punto della curva \[ y=\sqrt{x} \] più vicino al punto di coordinate (4; 0). Soluzione La curva di equazione \[ y=\sqrt{x} \] con \[ x\geq0 \] è un arco di parabola con asse coincidente con l’asse x, così come si vede qui sotto: \[ \begin{cases} \begin{array}{c} x=y^{2}\\ x\geq0\\ y\geq0 \end{array}\end{cases} \] […]
Testo In che cosa consiste il problema della quadratura del cerchio? Perchè è così spesso citato? Soluzione Questo problema consiste nel costruire con i mezzi della geometria euclidea – cioè con i soli riga e compasso – un quadrato la cui area sia pari a quella di un cerchio dato. Questo significa costruire un segmento […]
Testo Si provi che, nello spazio ordinario a tre dimensioni, il luogo geometrico dei punti equidistanti dai tre vertici di un triangolo rettangolo è la retta perpendicolare al piano del triangolo passante per il punto medio dell’ipotenusa. Soluzione Detto O il punto medio dell’ipotenusa AB del triangolo ABC, rettangolo in C, questo punto è il […]
Testo Nella figura a lato, denotati con I, II e III, sono disegnati tre grafici. Uno di essi è il grafico di una funzione f, un altro lo è della funzione derivata f’ e l’altro ancora di f”. Quale delle seguenti alternative identifica correttamente ciascuno dei tre grafici? Soluzione Andiamo ad analizzare tutte le possibili […]
Testo Silvia, che ha frequentato un indirizzo sperimentale di liceo scientifico, sta dicendo ad una sua amica che la geometria euclidea non è più vera perchè per descrivere la realtà del mondo che ci circonda occorrono modelli di geometria non euclidea. Silvia ha ragione? Si motivi la risposta. Soluzione Silvia sta sbagliando visto che non […]
Testo Sia R la regione delimitata, per x appartenente a 2 [0,pi], dalla curva y=sen(x) e dall’asse x e sia W il solido ottenuto dalla rotazione di R attorno all’asse y. Si calcoli il volume di W. Soluzione Considero la regione R come unione di due contributi, R1 e R2. La prima regione è compresa […]
Testo In una delle sue opere G. Galilei fa porre da Salviati, uno dei personaggi, la seguente questione riguardante l’insieme N dei numeri naturali (che lui definisce ”i numeri tutti”). Dice Salviati: ”. . . se io dirò, i numeri tutti, comprendendo i quadrati e i non quadrati, esser più che i quadrati soli, dirò […]
Testo Di tutti i coni inscritti in una sfera di raggio 10 cm, qual è quello di superficie laterale massima? Soluzione Se chiamo O il centro della sfera, V il vertice del cono retto, H la proiezione ortogonale di V sulla base del cono e A un punto della circonferenza di base, allora OV=OB=OA e, […]