Testo

Il numero delle combinazioni di n oggetti a 4 a 4 è uguale al numero delle combinazioni degli stessi oggetti a 3 a 3. Si trovi n.

Soluzione

Il numero delle combinazioni di n oggetti a 4 a 4 è dato dal coefficiente binomiale \[ C_{n,4}=\left(\begin{array}{c} n\\ 4 \end{array}\right)=\frac{n!}{4!\cdot(n-4)!} \] (e in maniera analoga si calcola il numero delle combinazioni di n oggetti a 3 a 3)

Si deve trovare n tale che \[ C_{n,4}=C_{n,3} \] con \[ n\geq4 \] cioè risolvere l’equazione di incognita n: \[ \frac{n!}{4!\cdot(n-4)!}=\frac{n!}{3!\cdot(n-3)!} \] Le cui soluzioni sono \[ n=0,\: n=1,\: n=2,\: n=7 \] e solo \[ n=7 \] rispetta la condizione \[ n\geq4 \] ed è quindi l’unica soluzione accettabile.