Testo

Per il progetto di una piscina, un architetto si ispira alle funzioni f e g definite, per tutti gli x reali, da: \[ f\left(x\right)=x^{3}-16x \] \[ g(x)=\sin\frac{\pi}{2}x \] 1. Si studino le funzioni f e g e se ne disegnino i rispettivi grafici in un conveniente sistema di riferimento cartesiano Oxy. Si considerino i punti del grafico di g a tangente orizzontale la cui ascissa è compresa nell’intervallo [-10; 10] e se ne indichino le coordinate.

2. L’architetto rappresenta la superficie libera dell’acqua nella piscina con la regione R delimitata dai grafici di f e di g sull’intervallo [0; 4]. Si calcoli l’area di R.

3. Ai bordi della piscina, nei punti di intersezione del contorno di R con le rette y=15 e y=5, l’architetto progetta di collocare dei fari per illuminare la superficie d’acqua. Si calcolino le ascisse di tali punti (è sufficiente un’approssimazione a meno di un’ordine di grandezza).

4. In ogni punto di R a distanza x dall’asse y, la misura della profondità dell’acqua nella piscina è data da h(x)=5x. Quale sarà il volume d’acqua nella piscina? Quanti litri d’acqua saranno necessari per riempire la piscina se tutte le misure sono espresse in metri?

Soluzione

La funzione f(x) è una cubica dispari in quanto f(-x)=-f(x). Studiando il segno della funzione si vede che: \[ f\left(x\right)\geq0\rightarrow-4\leq x\leq0\; e\; x\geq4 \] La funzione non presenta asintoti orizontali o verticali poichè: \[ \lim_{x\rightarrow\pm\infty}f\left(x\right)=\pm\infty \] Inoltre è noto dalla teoria che le funzioni cubiche non presentano asintoti obliqui. Studiando invece la sua derivata prima: \[ f'(x)=3x^{2}-16\geqslant0\rightarrow x^{2}\geqslant\frac{16}{3}\rightarrow x\leq-\frac{4}{\sqrt{3}}\; e\; x\geq\frac{4}{\sqrt{3}}\rightarrow x_{min}=-\frac{4}{\sqrt{3}}\; e\; x_{max}=\frac{4}{\sqrt{3}} \] I rispettivi valore che la funzione assume nel punto di massimo e in quello di minimo sono: \[ y_{min}=-\frac{128}{3\sqrt{3}}\; e\; y_{max}=\frac{128}{3\sqrt{3}} \] Ora mi concentro sulla derivata seconda per studiare la concavità di f(x): \[ f”\left(x\right)=6x\geq0\rightarrow x\geq0 \] In x=0 la funzione f(x) cambia di concavità passando da una concavità verso il basso ad una concavità verso l’alto e l’origine di Oxy è per f(x) un punto di flesso.

Studiando invece la funzione g(x) noto che anch’essa è definita in tutto l’insieme dei numeri reali e che, come tutte le funzioni riconducibili alle trigonometriche, presenta una periodicità – che in questo caso è pari a: \[ T=\frac{2\pi}{a}\rightarrow T=\frac{2\pi}{\frac{\pi}{2}}=4 \] Ora cerco i punti a tangente orizzontale studiando il segno della derivata prima: \[ g’\left(x\right)=\frac{\pi}{2}\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)=0\rightarrow\frac{\pi}{2}x=\frac{\pi}{2}+k\pi\rightarrow x=1+2k\;\forall k\epsilon Z \] Metto poi a sistema le condizioni per trovare i soli a tangente orizzontale compresi tra -10 e 10 (come richiesto dal testo dell’esercizio): \[ \left\{ \begin{array}{c} 1+2k\geq-10\\ 1+2k\leq10 \end{array}\rightarrow k\,\epsilon\left[-5,5;4,5\right]\right. \] Le rispettive coordinate sono \[ \left(1+2k;\left(-1\right)^{k}\right) \] Poichè \[ \sin\left(\frac{\pi}{2}+k\pi\right)=1 \] se k è pari, mentre \[ \sin\left(\frac{\pi}{2}+k\pi\right)=-1 \] se k è dispari.

2. La regione R compresa tra f e g è: \[ A=\int_{0}^{4}\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)-\left(x^{3}-16x\right)dx \] posto \[ t=\frac{\pi}{2}x \] L’area A diventa: \[ A=\left[-\frac{2}{\pi}\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)-\frac{x^{4}}{4}+16\cdot\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{4}=-\frac{2}{\pi}-64+128+\frac{2}{\pi}=64 \]

3. Per trovare le ascisse dei punti di intersezione delle due rette di equazione y = -15 e y = -5 con il grafico y = f(x) dovremmo risolvere: \[ x^{3}-16x=-15\rightarrow x_{1/2}=\frac{-1\pm\sqrt{61}}{2}=x_{B}\; x_{3}=1=x_{A} \] \[ x^{3}-16x=-5 \] Mentre nella prima equazione possiamo prendere per buona la prima e la terza soluzione in quanto positive, nel calcolarsi la seconda equazione noto come questa non sia fattorizzabile elementarmente (i divisori del termine noto portano tutti a resti diversi da zero per cui non posso usare con successo la regola di Ruffini). In ogni caso, per la conoscenza del grafico di f, l’ascissa del punto C dev’essere inferiore di quella di A ossia \[ x_{C}0 \] \[ l\left(1\right):1-16+5=-10x_{B}\:\wedge\: x_{D}<4\rightarrow x_{D}>\frac{-1+\sqrt{61}}{2}\:\wedge\: x_{D}0 \] Dato poi che la derivata della funzione l nell’intervallo compreso tra l’ascissa del punto D e 4 è: \[ l’\left(x\right)>0 \] Concludo che l è strettamente crescente in questo intervallo, e pertanto posso applicare di nuovo il metodo di Newton – usando la stessa funzione ma stavolta partendo dal punto x=4. \[ \begin{array}{c} x_{0}=4\rightarrow x_{1}=3,84375\\ x_{1}=3,84375\rightarrow x_{2}=3,83354\\ x_{2}=3,83354\rightarrow x_{3}=3,83349=x_{D} \end{array} \] 4. Per un dato valore di x la profondità della piscina (funzione della variabile x) è costante. La sezione della piscina perpendicolare all’asse x è un rettangolo la cui area è data dal prodotto dei due lati a e b così descritti: \[ a=g\left(x\right)-f\left(x\right)\geq0\;,\; b=h\left(x\right)=5-x \] \[ A\left(x\right)=a\cdot b=\left(\sin\frac{\pi}{2}x-x^{3}+16x\right)\left(5-x\right) \] Il volume è invece: \[ V=\int_{0}^{4}A\left(x\right)dx=\int_{0}^{4}\left(\sin\frac{\pi}{2}x-x^{3}+16x\right)\left(5-x\right)dx= \] \[ =\int_{0}^{4}\left(5\sin\frac{\pi}{2}x-5x^{3}+80x-x\sin\frac{\pi}{2}x+x^{4}-16x^{2}\right)dx= \] \[ =-\frac{10}{x}-320+640+\frac{8}{\pi}+\frac{1024}{5}-\frac{1024}{3}-\left(-\frac{10}{\pi}\right)= \] \[ \frac{2752}{15}+\frac{8}{\pi}=186,013\: m^{3}=186,013\left(10^{3}\right)\: l=186013\: l \]