Quesito 5 – Testo e soluzione – Maturità 2010 Liceo scientifico

Testo

Un serbatoio ha la stessa capacità del massimo cono circolare retto di apotema 80 cm. Qual è la capacità in litri del serbatoio?

Soluzione

Pongo V come vertice del cono circolare retto di massimo volume, H piede della sua altezza e A punto qualsiasi della circonferenza di base.

L’apotema misura VA=80cm mentre l’altezza è incognita e la indico con VH=x con x compreso tra 0 e 80 cm.

Il raggio si ottiene dal teorema di Pitagora: \[ AH^{2}=VA^{2}-VH^{2}=80-x^{2} \] Il volume risulta: \[ \left\{ \begin{array}{c} V\left(x\right)=\frac{1}{3}\left(\pi AH^{2}\right)VH=\frac{\pi}{3}\left(80^{2}-x^{2}\right)x=\frac{\pi}{3}\left(80^{2}x-x^{3}\right)\\ x\geq0\:\wedge\: x\leq80 \end{array}\right. \] Il valore verrà individuato studiando la derivata prima della funzione del volume. \[ V^{‘}=\frac{\pi}{3}\left(80^{2}-3x^{2}\right)\geq0\rightarrow80^{2}-3x^{2}\geq0\rightarrow x^{2}\leq\frac{80^{2}}{3} \] le soluzioni sono: \[ x\geq-\frac{80}{\sqrt{3}}\:\wedge\: x\leq\frac{80}{\sqrt{3}}\rightarrow x\geq0\:\wedge\: x\leq\frac{80}{\sqrt{3}}\rightarrow x_{MAX}=\frac{80}{\sqrt{3}} \] \[ V\left(x_{MAX}\right)=\frac{\pi}{3}\left(80^{2}-\frac{80^{2}}{3}\right)\frac{80}{\sqrt{3}}=\frac{2\pi\sqrt{3}}{27}\cdot80^{3}cm^{3}=206.370\; cm^{3}=206,37\; l \]

 

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