Quesito 1 – Testo e soluzione – Maturità 2012 Scientifico PNI

Testo
Si calcoli \[ \lim_{x\to 0^+}{\frac{2^{3x}-3^{4x}}{x^2}}\]

Soluzione

Il limite richiesto conduce ad un forma indeterminata del tipo 0/0.Infatti:
\[
\lim_{x\to0+}{2^{3x}-3^{4x}=f(0)=1-1=0}\hspace{1cm}\text{e}\hspace{1cm}
\lim_{x\to0+}{x^2}=0
\]

Sfruttiamo quindi il teorema di De L’H\(\hat{o}\)pital, ovvero studiamo il limite del rapporto delle derivate di \(f(x)\) e \(g(x)\).
\[
\lim_{x\to0+}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}=
\lim_{x\to0+}{\frac{3\ln2\cdot2^{3x}-4\ln3\cdot3^4x}{2x}}
\]
e poichè risulta
\[
\lim_{x\to0+}{(3\ln2\cdot2^{3x}-4\ln3\cdot3^{4x})}=\ln\left(\frac{8}{81}\right)<0 \hspace{1mm}\text{e}\hspace{1cm}\lim_{x\to0+}2x=0^+\], possiamo concludere che il limite esiste e vale \[ \lim_{x\to0+}{\frac{3\ln2\cdot2^{3x}-4\ln3\cdot3^{4x}}{2x}}=-\infty. \] il teorema citato è pertanto applicabile al limite originario e possiamo affermare che \[ \lim_{x\to0+}{\frac{2^{3x}-3^{4x}}{x^2}}=-\infty \]

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